Найти значения, которые удовлетворяют этому условию

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к линейной алгебре (предмет «Математика»), а конкретно к разделу, связанному с понятием длины (или модуля) вектора.

Условие задачи:

Вектор задан координатами: \[ \vec{a} = (n-2; -1; n), \] и его длина равна: \[ |\vec{a}| = \sqrt{7}. \]
Необходимо найти значения \( n \), которые удовлетворяют этому условию.

Решение

Модуль (длина) вектора

Длина вектора \(\vec{a} = (x_1, x_2, x_3)\) вычисляется по формуле:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}. \]

Подставляем координаты вектора ((n-2), -1, n) в эту формулу:
\[ |\vec{a}| = \sqrt{(n-2)^2 + (-1)^2 + n^2}. \]
Согласно условию, \( |\vec{a}| = \sqrt{7} \). Тогда:
\[ \sqrt{(n-2)^2 + (-1)^2 + n^2} = \sqrt{7}. \]

Убираем квадратный корень:

Возводим обе части уравнения в квадрат для упрощения (предполагаем, что |\vec{a}| > 0):
\[ (n-2)^2 + (-1)^2 + n^2 = 7. \]

Раскрываем квадраты:

\[ (n-2)^2 = n^2 - 4n + 4, \quad (-1)^2 = 1, \quad n^2 = n^2. \]
Подставляем:
\[ n^2 - 4n + 4 + 1 + n^2 = 7. \]

Упрощаем выражение:

\[ 2n^2 - 4n + 5 = 7. \]
\[ 2n^2 - 4n - 2 = 0. \]

Упрощаем квадратное уравнение:

Делим на 2:
\[ n^2 - 2n - 1 = 0. \]

Решаем уравнение методом дискриминанта:

Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант равен:
\[ D = b^2 - 4ac. \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -1\). Тогда:
\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8. \]

Находим корни уравнения:

Корни определяются формулой:
\[ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения \(b = -2\), \(D = 8\), \(a = 1\):
\[ n_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}. \]
Упрощаем:
\[ n_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}. \]

Ответ:

Решение совпадает с вариантом \(\text{в}.\)
\[ n_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}. \]