Предмет: Алгебра
Раздел: Матрицы, векторы, скалярные произведения
6 (б): Найти значение выражения
\[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - \cos(e_1, e_2) \]
где
\(a = (1, -2, 2)\) и
\(b = (2, -3, 0)\).
1. Шаг 1: Нахождение единичного вектора \(e_1, e_2, e_3\)
Норма векторов:
\[ |e_1| = |a| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]
\[ e_1 = \dfrac{a}{|a|} = \dfrac{(1, -2, 2)}{3} = \left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right). \]
\[ |e_2| = |b| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13}. \]
\[ e_2 = \dfrac{b}{|b|} = \dfrac{(2, -3, 0)}{\sqrt{13}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}, -\dfrac{3}{\sqrt{13}}, 0\right). \]
Допущение:
\(e_3\) не задан явно, считаем, что
\(e_3 = (0, 0, 1)\) (из стандартного ортонормированного базиса).
\[ |e_3| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1. \]
2. Шаг 2: Нахождение компонент выражения
-
|e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2:
\[ |e_1|^2 = 1, \, |e_2|^2 = 1, \, |e_3|^2 = 1. \]
\[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 = 1 + 1 + 1 = 3. \]
-
e_2 \cdot e_3 (скалярное произведение \(e_2\) и \(e_3\)):
\[ e_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}, -\dfrac{3}{\sqrt{13}}, 0\right), \, e_3 = (0, 0, 1). \]
\[ e_2 \cdot e_3 = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \cdot 0 + \left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. \]
-
\cos(e_1, e_2):
\[ \cos(e_1, e_2) = \dfrac{e_1 \cdot e_2}{|e_1| \cdot |e_2|}. \]
Скалярное произведение \(e_1 \cdot e_2\):
\[ e_1 = \left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right), \, e_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}, -\dfrac{3}{\sqrt{13}}, 0\right). \]
\[ e_1 \cdot e_2 = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{13}} + \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right) + \dfrac{2}{3} \cdot 0. \]
\[ e_1 \cdot e_2 = \dfrac{2}{3\sqrt{13}} + \dfrac{6}{3\sqrt{13}} + 0 = \dfrac{8}{3\sqrt{13}}. \]
\[ \cos(e_1, e_2) = \dfrac{\dfrac{8}{3\sqrt{13}}}{1 \cdot 1} = \dfrac{8}{3\sqrt{13}}. \]
3. Подставляем в выражение:
\[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - \cos(e_1, e_2) \]
\[ = 3 - 0 - \dfrac{8}{3\sqrt{13}}. \]
Ответ:
\[ 3 - \dfrac{8}{3\sqrt{13}}. \]