Найти вектор c

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторы и геометрические свойства векторов

Задание:

Даны векторы a и b:

• a = i + j (т. е. {1, 1, 0})
• b = j + k (т. е. {0, 1, 1})

Векторы a, b и c имеют одинаковую длину и образуют попарно равные углы. Нужно найти вектор c.

Решение:

1. Анализ задачи:

По условию векторы a, b и c имеют одинаковую длину и одинаковые углы между собой. Это говорит о том, что все три вектора равноправны в некотором смысле в пространстве, а значит, можно попробовать использовать симметричные соображения и тригонометрию векторов.

2. Найдем длины векторов a и b:

Длина (норма) вектора находится по формуле:

\[ |a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \]

где \( a_x \), \( a_y \), \( a_z \) — координаты вектора \( a \).

Вектор a = {1, 1, 0}. Найдем его длину:

\[ |a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Теперь вектор b = {0, 1, 1}. Найдем его длину:

\[ |b| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Таким образом, длины векторов a и b равны и обе равны \( \sqrt{2} \). По условию длина вектора c также равна этой величине, т.е.

\[ |c| = \sqrt{2} \]

3. Найдем угол между векторами a и b:

Угол между векторами можно найти через скалярное произведение:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|a||b|} \]

Найдем скалярное произведение a * b. Это просто сумма произведений соответствующих координат:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) = 0 + 1 + 0 = 1 \]

Теперь подставим значения:

\[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

Отсюда:

\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \]

Таким образом, угол между векторами a и b равен 60°.

4. Поиск вектора c:

Векторы a, b и c образуют равные углы между собой. Мы можем предположить, что вектор c имеет вид {x, y, z}, и его длина равна \( \sqrt{2} \), т.е.:

\[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2} \]

или

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 2 \]

Также вектор c должен образовывать угол 60° с каждым из векторов a и b. Это приводит нас к системе уравнений через скалярные произведения.

Для вектора a и c:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = |a||c|\cos 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

То есть:

\[ 1 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = x + y = 1 \]

Для вектора b и c:

\[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |b||c|\cos 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

То есть:

\[ 0 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z = y + z = 1 \]

5. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система:

1. \( x^2 + y^2 + z^2 = 2 \)
2. \( x + y = 1 \)
3. \( y + z = 1 \)

Решаем эту систему. Из второго уравнения можно выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = 1 - y \]

Из третьего уравнения можно выразить \( z \) через \( y \):

\[ z = 1 - y \]

Подставляем \( x = 1 - y \) и \( z = 1 - y \) в первое уравнение:

\[ (1 - y)^2 + y^2 + (1 - y)^2 = 2 \]

Раскроем скобки:

\[ (1 - 2y + y^2) + y^2 + (1 - 2y + y^2) = 2 \]

Приведем подобные:

\[ 1 - 2y + y^2 + y^2 + 1 - 2y + y^2 = 2 \]

\[ 2 + 3y^2 - 4y = 2 \]

Сократим на 2 с обеих сторон:

\[ 3y^2 - 4y = 0 \]

Вынесем \( y \) за скобки:

\[ y(3y - 4) = 0 \]

Отсюда либо \( y = 0 \), либо \( 3y = 4 \), то есть \( y = \frac{4}{3} \).

6. Отбор подходящего решения:

Очевидно, что \( y = \frac{4}{3} \) не подходит, так как нарушит условие длины вектора. Таким образом, \( y = 0 \).

Подставляем \( y = 0 \) в выражения для \( x \) и \( z \):

\[ x = 1 - 0 = 1, \quad z = 1 - 0 = 1 \]

7. Ответ:

Таким образом, вектор c имеет координаты:

\[ \mathbf{c} = \{1, 0, 1\} \]