Найти уравнение высоты DH, опущенной из вершины D на основание треугольника ABC

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Задачи на векторы, плоскости и пирамиды в пространстве.

Задача: Найти уравнение высоты DH, опущенной из вершины D на основание треугольника ABC. Основание пирамиды ABCD — это плоскость с координатами вершин A(1, 0, -6), B(1, -4, 1), C(2, 2, 0), а вершина D(-1, 3, 1). В конце требуется найти длину этой высоты.

Шаг 1. Найдём уравнение плоскости ABC.

Плоскость проходит через три точки A, B, и C. Уравнение плоскости в пространстве имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0

Для того чтобы определить коэффициенты A, B, C, D, найдём нормальный вектор плоскости \( \mathbf{n} \). Этот вектор можно получить, найдя векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

1. Найдём вектора \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

   \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 - 1 \\ -4 - 0 \\ 1 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)

   \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 2 - 0 \\ 0 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\)

2. Найдём векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

   \(\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -4 & 7 \\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix}\)

   Вычислим определитель матрицы:

   \(\mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot ((-4) \cdot 6 - 7 \cdot 2) - \mathbf{j} \cdot (0 \cdot 6 - 7 \cdot 1) + \mathbf{k} \cdot (0 \cdot 2 - (-4) \cdot 1)\)

   \(\mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot (-24 - 14) - \mathbf{j} \cdot (-7) + \mathbf{k} \cdot (4)\)

   \(\mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot (-38) + \mathbf{j} \cdot (7) + \mathbf{k} \cdot (4)\)

   \(\mathbf{n} = (-38, 7, 4)\)

Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости: \(A = -38\), \(B = 7\), \(C = 4\).

Теперь найдём D, подставляя координаты точки \(A(1, 0, -6)\) в уравнение плоскости:

\(-38 \cdot 1 + 7 \cdot 0 + 4 \cdot (-6) + D = 0\)

\(-38 - 24 + D = 0\)

D = 62

Следовательно, уравнение плоскости:

-38x + 7y + 4z + 62 = 0

Шаг 2. Найдём уравнение высоты DH.

Высота DH, опущенная из точки D(-1, 3, 1), перпендикулярна плоскости ABC. Поскольку нормальный вектор плоскости \(\mathbf{n} = (-38, 7, 4)\), уравнение высоты будет иметь параметрическое представление:

x = -1 - 38t

y = 3 + 7t

z = 1 + 4t

Шаг 3. Найдём точку пересечения (координаты точки H).

Чтобы найти координаты точки H, нужно подставить параметрические выражения для x, y, и z в уравнение плоскости -38x + 7y + 4z + 62 = 0.

Подставляем:

-38(-1 - 38t) + 7(3 + 7t) + 4(1 + 4t) + 62 = 0

Раскроем скобки:

38 + 1444t + 21 + 49t + 4 + 16t + 62 = 0

Соберём все подобные слагаемые:

(1444 + 49 + 16)t + (38 + 21 + 4 + 62) = 0

1509t + 125 = 0

t = -\frac{125}{1509} \approx -0.0828

Шаг 4. Найдём координаты точки H.

Теперь подставим найденное t в параметрические уравнения координат высоты DH:

x_H = -1 - 38(-0.0828) \approx -1 + 3.146 \approx 2.146

y_H = 3 + 7(-0.0828) \approx 3 - 0.5796 \approx 2.42

z_H = 1 + 4(-0.0828) \approx 1 - 0.331 \approx 0.669

Точка H имеет приблизительные координаты H(2.146, 2.42, 0.669).

Шаг 5. Найдём длину высоты DH.

Длина вектора \(\overrightarrow{DH}\) находится по формуле длины вектора:

|\overrightarrow{DH}| = \sqrt{(x_H - x_D)^2 + (y_H - y_D)^2 + (z_H - z_D)^2}

Подставим значения:

|\overrightarrow{DH}| = \sqrt{(2.146 - (-1))^2 + (2.42 - 3)^2 + (0.669 - 1)^2}

|\overrightarrow{DH}| = \sqrt{(3.146)^2 + (-0.58)^2 + (-0.331)^2}

Ответ:

• Уравнение плоскости ABC: -38x + 7y + 4z + 62 = 0
• Уравнение высоты DH: x = -1 - 38t, y = 3 + 7t, z = 1 + 4t
• Длина высоты DH \approx 3.217