Найти угол между векторами

Предмет: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Раздел: Векторы

Рассмотрим задание 1: Найти угол между векторами
\vec{a} = 7\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k}
и
\vec{b} = 2\vec{j} + 2\vec{k}.

Шаг 1. Формула для нахождения угла между векторами

Угол между векторами \vec{a} и \vec{b} вычисляется по формуле:
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|},
где:

• \vec{a} \cdot \vec{b} — скалярное произведение векторов,
• |\vec{a}| и |\vec{b}| — длины векторов.

Шаг 2. Найдем скалярное произведение \vec{a} \cdot \vec{b}

Формула для скалярного произведения:
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,
где a_x, a_y, a_z и b_x, b_y, b_z — координаты векторов \vec{a} и \vec{b}.

Для \vec{a} = 7\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k} имеем:
a_x = 7, \, a_y = 2, \, a_z = -4.

Для \vec{b} = 2\vec{j} + 2\vec{k} имеем:
b_x = 0, \, b_y = 2, \, b_z = 2.

Подставляем:
\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 2 = 0 + 4 - 8 = -4.

Шаг 3. Найдем длины векторов |\vec{a}| и |\vec{b}|

Формула длины вектора:
|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.

Для \vec{a}:
|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 4 + 16} = \sqrt{69}.

Для \vec{b}:
|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Шаг 4. Найдем \cos\theta

Подставляем в формулу:
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-4}{\sqrt{69} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{138}} = \frac{-2}{\sqrt{138}}.

Упростим:
\cos\theta = \frac{-2\sqrt{138}}{138} = \frac{-\sqrt{138}}{69}.

Шаг 5. Найдем угол \theta

Угол \theta равен:
\theta = \arccos\left(\frac{-\sqrt{138}}{69}\right).

Это точное значение угла между векторами. Для численного значения можно воспользоваться калькулятором.