Найти угол между ребрами

Данный вопрос относится к математике, точнее к разделу векторной геометрии. Давайте найдем угол между ребрами \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\).

Задача: Найти угол между двумя векторами:

Дано:

1. \( A_1 (3, -1, 3) \) — начальная точка.
2. \( A_2 (4, 5, -2) \) — пункт назначения для первого вектора, т.е. определяет конец ребра \( A_1A_2 \).
3. \( A_4 (2, 3, 5) \) — пункт назначения для второго вектора, т.е. определяет конец ребра \( A_1A_4 \).

Шаг 1: Найдем координаты векторов.

Вектор \( \vec{A_1A_2} \) имеет координаты:

\[ \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (4 - 3, 5 - (-1), -2 - 3) = (1, 6, -5). \]

Вектор \( \vec{A_1A_4} \) имеет координаты:

\[ \vec{A_1A_4} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1, z_4 - z_1) = (2 - 3, 3 - (-1), 5 - 3) = (-1, 4, 2). \]

Итак, \( \vec{A_1A_2} = (1, 6, -5) \) и \( \vec{A_1A_4} = (-1, 4, 2) \).

Шаг 2: Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами.

Формула:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_4}|}, \]

где:

• \( \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} \) — скалярное произведение векторов;
• \( |\vec{A_1A_2}| \) и \( |\vec{A_1A_4}| \) — длины (модули) векторов.

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) записывается как:

\[ \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. \]

Подставим координаты:

\[ \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = (1)(-1) + (6)(4) + (-5)(2) = -1 + 24 - 10 = 13. \]

Шаг 4: Найдем длины векторов.

Длина вектора \( \vec{A_1A_2} \) равна:

\[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}. \]

Подставляем:

\[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 6^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 36 + 25} = \sqrt{62}. \]

Длина вектора \( \vec{A_1A_4} \) равна:

\[ |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}. \]

Подставляем:

\[ |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}. \]

Шаг 5: Подставим все в формулу косинуса.

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_4}|}. \]

\[ \cos \theta = \frac{13}{\sqrt{62} \cdot \sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{1302}}. \]

Шаг 6: Найдем угол \( \theta \) в градусах.

Угол:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{1302}}\right). \]

Вычислим значение:

\[ \sqrt{1302} \approx 36.08. \]

\[ \frac{13}{36.08} \approx 0.3605. \]

Теперь находим арккосинус:

\[ \theta = \arccos(0.3605) \approx 68.88^\circ. \]

Ответ:

Угол между ребрами \( A_1A_2 \) и \( A_1A_4 \) составляет примерно \( 68.88^\circ \).