Найти проекцию вектора

Определение предмета и раздела

Это задание связано с многомерной аналитической геометрией и векторами, что принадлежит к курсу "Геометрия" — а именно к разделу, посвящённому векторной алгебре.

Пояснение к задаче

Требуется найти проекцию вектора $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ на вектор $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$. Для этого сначала выполним все необходимые шаги.

Шаг 1: Найдём векторы $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$

Вектор $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ имеет координаты, которые вычисляются как разность соответствующих координат конца вектора $\text{(}B\text{)}$ и начала вектора $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AB}=B-A=(0-2,0-2,6-7)=(-2,-2,-1)\text{]}$

Вектор $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$ также вычисляется как разность координат точки $\text{(}C\text{)}$ и точки $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AC}=C-A=(-2-2,5-2,7-7)=(-4,3,0)\text{]}$

Шаг 2: Формула проекции вектора

Проекция одного вектора на другой находится по формуле:

$\text{[}\text{Проекция }\overrightarrow{AB}\text{ на }\overrightarrow{AC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}{|}^2}\cdot \overrightarrow{AC}\text{]}$

Здесь:

• $\text{(}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\text{)}$ — скалярное произведение векторов,
• $\text{(}|\overrightarrow{AC}{|}^2\text{)}$ — квадрат длины вектора $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$.

Шаг 3: Скалярное произведение векторов $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$

Скалярное произведение двух векторов $\text{(}\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1,z_1)\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2)\text{)}$ рассчитывается по формуле:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2\text{]}$

Подставляем значения:

$\text{[}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)\cdot (-4)+(-2)\cdot 3+(-1)\cdot 0=8-6+0=2\text{]}$

Шаг 4: Длина вектора $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$

Квадрат длины вектора $\text{(}\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2)\text{)}$ находится по формуле:

$\text{[}|\overrightarrow{AC}{|}^2=x_2^2+y_2^2+z_2^2\text{]}$

Подставляем координаты вектора:

$\text{[}|\overrightarrow{AC}{|}^2=(-4{)}^2+3^2+0^2=16+9+0=25\text{]}$

Шаг 5: Проекция вектора

Теперь мы можем найти проекцию:

$\text{[}\text{Проекция }\overrightarrow{AB}\text{ на }\overrightarrow{AC}=\frac{2}{25}\cdot \overrightarrow{AC}\text{]}$

Подставляем координаты вектора $\text{(}\overrightarrow{AC}=(-4,3,0)\text{)}$:

$\text{[}\frac{2}{25}\cdot (-4,3,0)=(\frac{2}{25}\cdot (-4),\frac{2}{25}\cdot 3,\frac{2}{25}\cdot 0)=(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0)\text{]}$

Ответ

Проекция вектора $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ на вектор $\text{(}\overrightarrow{AC}\text{)}$ равна:

$\text{[}(-\frac{8}{25},\frac{6}{25},0)\text{]}$