Найти проекцию вектора

Определение предмета и раздела

Это задание связано с многомерной аналитической геометрией и векторами, что принадлежит к курсу "Геометрия" — а именно к разделу, посвящённому векторной алгебре.

Пояснение к задаче

Требуется найти проекцию вектора \( \vec{AB} \) на вектор \( \vec{AC} \). Для этого сначала выполним все необходимые шаги.

Шаг 1: Найдём векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)

Вектор \( \vec{AB} \) имеет координаты, которые вычисляются как разность соответствующих координат конца вектора \( B \) и начала вектора \( A \):

\[ \vec{AB} = B - A = (0 - 2, 0 - 2, 6 - 7) = (-2, -2, -1) \]

Вектор \( \vec{AC} \) также вычисляется как разность координат точки \( C \) и точки \( A \):

\[ \vec{AC} = C - A = (-2 - 2, 5 - 2, 7 - 7) = (-4, 3, 0) \]

Шаг 2: Формула проекции вектора

Проекция одного вектора на другой находится по формуле:

\[ \text{Проекция } \vec{AB} \text{ на } \vec{AC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \cdot \vec{AC} \]

Здесь:

• \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) — скалярное произведение векторов,
• \( |\vec{AC}|^2 \) — квадрат длины вектора \( \vec{AC} \).

Шаг 3: Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{AB} = (x_1, y_1, z_1) \) и \( \vec{AC} = (x_2, y_2, z_2) \) рассчитывается по формуле:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \]

Подставляем значения:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-4) + (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 0 = 8 - 6 + 0 = 2 \]

Шаг 4: Длина вектора \( \vec{AC} \)

Квадрат длины вектора \( \vec{AC} = (x_2, y_2, z_2) \) находится по формуле:

\[ |\vec{AC}|^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \]

Подставляем координаты вектора:

\[ |\vec{AC}|^2 = (-4)^2 + 3^2 + 0^2 = 16 + 9 + 0 = 25 \]

Шаг 5: Проекция вектора

Теперь мы можем найти проекцию:

\[ \text{Проекция } \vec{AB} \text{ на } \vec{AC} = \frac{2}{25} \cdot \vec{AC} \]

Подставляем координаты вектора \( \vec{AC} = (-4, 3, 0) \):

\[ \frac{2}{25} \cdot (-4, 3, 0) = \left( \frac{2}{25} \cdot (-4), \frac{2}{25} \cdot 3, \frac{2}{25} \cdot 0 \right) = \left( -\frac{8}{25}, \frac{6}{25}, 0 \right) \]

Ответ

Проекция вектора \( \vec{AB} \) на вектор \( \vec{AC} \) равна:

\[ \left( -\frac{8}{25}, \frac{6}{25}, 0 \right) \]