Шаг 1: Постановка задачи
Нам заданы два линейных преобразования:
1. Преобразование \( A: X \rightarrow X' \) представлено системой уравнений:
\[
\begin{cases}
x_1' = x_1 + 2x_2 \\
x_2' = 2x_1 + 3x_2 \\
x_3' = -4x_1 + 5x_2 \\
x_4' = 2x_1 + 7x_2
\end{cases}
\]
2. Преобразование \( B: X' \rightarrow X'' \) представлено суммой:
\[
x_1'' = 5x_1' + 7x_2' - 2x_3' - 3x_4'
\]
Требуется найти результирующее преобразование \( C: X \rightarrow X'' \) и образ вектора \( X = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) при этом преобразовании.
Шаг 2: Найдем преобразование \( C \)
Преобразование \( C \) является композицией преобразований \( A \) и \( B \), то есть \( C(X) = B(A(X)) \).
2.1. Подставим \( x_1', x_2', x_3', x_4' \) из преобразования \( A \) в уравнение для \( x_1'' \) преобразования \( B \):
\[
x_1'' = 5x_1' + 7x_2' - 2x_3' - 3x_4'
\]
1. Подставляем \( x_1', x_2', x_3', x_4' \):
\[
x_1'' = 5(x_1 + 2x_2) + 7(2x_1 + 3x_2) - 2(-4x_1 + 5x_2) - 3(2x_1 + 7x_2)
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x_1'' = 5x_1 + 10x_2 + 14x_1 + 21x_2 + 8x_1 - 10x_2 - 6x_1 - 21x_2
\]
3. Приведем подобные:
\[
x_1'' = (5x_1 + 14x_1 + 8x_1 - 6x_1) + (10x_2 + 21x_2 - 10x_2 - 21x_2)
\]
\[
x_1'' = (5 + 14 + 8 - 6)x_1 + (10 + 21 - 10 - 21)x_2
\]
\[
x_1'' = 21x_1
\]
Итак, результирующее преобразование \( C \) имеет вид:
\[
x_1'' = 21x_1
\]
Шаг 3: Найдем образ вектора \( X = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
1. Подставим \( x_1 = -2 \) в результирующее преобразование:
\[
x_1'' = 21(-2) = -42
\]
Ответ:
Результирующее преобразование \( C: X \rightarrow X'' \) задается выражением:
\[
x_1'' = 21x_1
\]
Образ вектора \( X = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) при этом преобразовании:
\( \begin{pmatrix} -42 \end{pmatrix} \).