Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Определение предмета и раздела: Задание связано с вычислением потока векторного поля через поверхность, что относится к области векторного анализа в разделе теоремы и интегралы векторного поля.
Дано векторное поле: \[ \mathbf{a} = 4x\mathbf{i} + (x - y - z)\mathbf{j} + (3y + 2z)\mathbf{k} \]
Необходимо найти поток этого поля через поверхность пирамиды, которую ограничивают плоскость \( P: 2x + y + z = 4 \) и координатные плоскости (то есть \( x = 0, y = 0, z = 0 \)).
Плоскость \( P: 2x + y + z = 4 \) пересекает координатные оси в:
Таким образом, плоскость \( P \) пересекает оси в точках \( (2, 0, 0) \), \( (0, 4, 0) \), \( (0, 0, 4) \), что описывает треугольную пирамиду.
По теореме Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через поверхность может быть выражен как объемный интеграл от дивергенции поля внутри объема:
\[ \Phi = \iint_{\partial V} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{a} \, dV \]
Найдем дивергенцию векторного поля \( \mathbf{a} = 4x\mathbf{i} + (x - y - z)\mathbf{j} + (3y + 2z)\mathbf{k} \). Дивергенция векторного поля — это скалярное поле, которое вычисляется как сумма частных производных его компонент по соответствующим переменным:
\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(4x) + \frac{\partial}{\partial y}(x - y - z) + \frac{\partial}{\partial z}(3y + 2z) \]
Вычислим поочередно каждое слагаемое:
Сложив все частные производные, получаем:
\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 4 - 1 + 2 = 5 \]
Теперь вычислим объемный интеграл для дивергенции \( 5 \) по объему пирамиды. Объем пирамиды \( V \) с вершинами на осях \( (x = 2, y = 4, z = 4) \) равен:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \text{площадь основания (треугольник)} \cdot \text{высота} \]
Основание пирамиды — это треугольник, лежащий в плоскости \( z = 0 \) с вершинами в точках \( (0, 0, 0) \), \( (2, 0) \), \( (0, 4) \). Площадь треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \]
Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды \( (0, 0, 4) \) до основания на плоскости \( z = 0 \), то есть 4. Таким образом:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3} \]
Теперь можем вычислить поток векторного поля через поверхность пирамиды, используя объемный интеграл от дивергенции умноженный на объем пирамиды:
\[ \Phi = \iiint_V 5 \, dV = 5 \cdot V = 5 \cdot \frac{16}{3} = \frac{80}{3} \]
Поток векторного поля через поверхность пирамиды равен \( \frac{80}{3} \).