Найти поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды образованную плоскостью и координатными плоскостями

Анализ задания:

Определение предмета и раздела: Задание связано с вычислением потока векторного поля через поверхность, что относится к области векторного анализа в разделе теоремы и интегралы векторного поля.

Шаг 1. Постановка задачи

Дано векторное поле: $\text{[}\mathbf{a}=4x\mathbf{i}+(x-y-z)\mathbf{j}+(3y+2z)\mathbf{k}\text{]}$

Необходимо найти поток этого поля через поверхность пирамиды, которую ограничивают плоскость $\text{(}P:2x+y+z=4\text{)}$ и координатные плоскости (то есть $\text{(}x=0,y=0,z=0\text{)}$).

Шаг 2. Уравнение поверхности пирамиды

Плоскость $\text{(}P:2x+y+z=4\text{)}$ пересекает координатные оси в:

• При $\text{(}y=0\text{)}$, $\text{(}z=0\text{)}$, находим пересечение с осью $\text{(}x\text{)}:\text{[}2x=4\Rightarrow x=2\text{]}$
• При $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}z=0\text{)}$, находим пересечение с осью $\text{(}y\text{)}:\text{[}y=4\text{]}$
• При $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}y=0\text{)}$, находим пересечение с осью $\text{(}z\text{)}:\text{[}z=4\text{]}$

Таким образом, плоскость $\text{(}P\text{)}$ пересекает оси в точках $\text{(}(2,0,0)\text{)}$, $\text{(}(0,4,0)\text{)}$, $\text{(}(0,0,4)\text{)}$, что описывает треугольную пирамиду.

Шаг 3. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

По теореме Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через поверхность может быть выражен как объемный интеграл от дивергенции поля внутри объема:

$\text{[}\mathrm{\Phi }={\iint }_{\mathrm{\partial }V}\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}dS={\iiint }_V\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{a}dV\text{]}$

Шаг 4. Вычисление дивергенции векторного поля

Найдем дивергенцию векторного поля $\text{(}\mathbf{a}=4x\mathbf{i}+(x-y-z)\mathbf{j}+(3y+2z)\mathbf{k}\text{)}$. Дивергенция векторного поля — это скалярное поле, которое вычисляется как сумма частных производных его компонент по соответствующим переменным:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{a}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(4x)+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(x-y-z)+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}(3y+2z)\text{]}$

Вычислим поочередно каждое слагаемое:

• $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(4x)=4\text{)}$
• $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(x-y-z)=-1\text{)}$
• $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}(3y+2z)=2\text{)}$

Сложив все частные производные, получаем:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{a}=4-1+2=5\text{]}$

Шаг 5. Вычисление объемного интеграла

Теперь вычислим объемный интеграл для дивергенции $\text{(}5\text{)}$ по объему пирамиды. Объем пирамиды $\text{(}V\text{)}$ с вершинами на осях $\text{(}(x=2,y=4,z=4)\text{)}$ равен:

$\text{[}V=\frac{1}{3}\cdot \text{площадь основания (треугольник)}\cdot \text{высота}\text{]}$

Основание пирамиды — это треугольник, лежащий в плоскости $\text{(}z=0\text{)}$ с вершинами в точках $\text{(}(0,0,0)\text{)}$, $\text{(}(2,0)\text{)}$, $\text{(}(0,4)\text{)}$. Площадь треугольника:

$\text{[}S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\text{]}$

Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды $\text{(}(0,0,4)\text{)}$ до основания на плоскости $\text{(}z=0\text{)}$, то есть 4. Таким образом:

$\text{[}V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 4=\frac{16}{3}\text{]}$

Шаг 6. Поток векторного поля

Теперь можем вычислить поток векторного поля через поверхность пирамиды, используя объемный интеграл от дивергенции умноженный на объем пирамиды:

$\text{[}\mathrm{\Phi }={\iiint }_{V}5dV=5\cdot V=5\cdot \frac{16}{3}=\frac{80}{3}\text{]}$

Ответ:

Поток векторного поля через поверхность пирамиды равен $\text{(}\frac{80}{3}\text{)}$.