Найти поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды образованную плоскостью и координатными плоскостями

Анализ задания:

Определение предмета и раздела: Задание связано с вычислением потока векторного поля через поверхность, что относится к области векторного анализа в разделе теоремы и интегралы векторного поля.

Шаг 1. Постановка задачи

Дано векторное поле: \[ \mathbf{a} = 4x\mathbf{i} + (x - y - z)\mathbf{j} + (3y + 2z)\mathbf{k} \]

Необходимо найти поток этого поля через поверхность пирамиды, которую ограничивают плоскость \( P: 2x + y + z = 4 \) и координатные плоскости (то есть \( x = 0, y = 0, z = 0 \)).

Шаг 2. Уравнение поверхности пирамиды

Плоскость \( P: 2x + y + z = 4 \) пересекает координатные оси в:

• При \( y = 0 \), \( z = 0 \), находим пересечение с осью \( x \): \[ 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]
• При \( x = 0 \), \( z = 0 \), находим пересечение с осью \( y \): \[ y = 4 \]
• При \( x = 0 \), \( y = 0 \), находим пересечение с осью \( z \): \[ z = 4 \]

Таким образом, плоскость \( P \) пересекает оси в точках \( (2, 0, 0) \), \( (0, 4, 0) \), \( (0, 0, 4) \), что описывает треугольную пирамиду.

Шаг 3. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

По теореме Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через поверхность может быть выражен как объемный интеграл от дивергенции поля внутри объема:

\[ \Phi = \iint_{\partial V} \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{a} \, dV \]

Шаг 4. Вычисление дивергенции векторного поля

Найдем дивергенцию векторного поля \( \mathbf{a} = 4x\mathbf{i} + (x - y - z)\mathbf{j} + (3y + 2z)\mathbf{k} \). Дивергенция векторного поля — это скалярное поле, которое вычисляется как сумма частных производных его компонент по соответствующим переменным:

\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial}{\partial x}(4x) + \frac{\partial}{\partial y}(x - y - z) + \frac{\partial}{\partial z}(3y + 2z) \]

Вычислим поочередно каждое слагаемое:

• \( \frac{\partial}{\partial x}(4x) = 4 \)
• \( \frac{\partial}{\partial y}(x - y - z) = -1 \)
• \( \frac{\partial}{\partial z}(3y + 2z) = 2 \)

Сложив все частные производные, получаем:

\[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 4 - 1 + 2 = 5 \]

Шаг 5. Вычисление объемного интеграла

Теперь вычислим объемный интеграл для дивергенции \( 5 \) по объему пирамиды. Объем пирамиды \( V \) с вершинами на осях \( (x = 2, y = 4, z = 4) \) равен:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \text{площадь основания (треугольник)} \cdot \text{высота} \]

Основание пирамиды — это треугольник, лежащий в плоскости \( z = 0 \) с вершинами в точках \( (0, 0, 0) \), \( (2, 0) \), \( (0, 4) \). Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \]

Высота пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды \( (0, 0, 4) \) до основания на плоскости \( z = 0 \), то есть 4. Таким образом:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3} \]

Шаг 6. Поток векторного поля

Теперь можем вычислить поток векторного поля через поверхность пирамиды, используя объемный интеграл от дивергенции умноженный на объем пирамиды:

\[ \Phi = \iiint_V 5 \, dV = 5 \cdot V = 5 \cdot \frac{16}{3} = \frac{80}{3} \]

Ответ:

Поток векторного поля через поверхность пирамиды равен \( \frac{80}{3} \).