Найти площадь части поверхности гиперболического цилиндра вырезаемой из него цилиндром

Предмет: Математика

Раздел: Векторное исчисление и интегралы (вычисление площади поверхности)

Условие:

Найти площадь части поверхности гиперболического цилиндра x^2 + z^2 = a^2, вырезаемой из него цилиндром x^2 + y^2 = a^2.

Решение:

1. Описание поверхности:

   • Уравнение поверхности: x^2 + z^2 = a^2 (гиперболический цилиндр).
   • Ограничение: x^2 + y^2 = a^2 (цилиндр, проекция на плоскость xy — окружность радиуса a).

2. Параметризация поверхности: Поверхность x^2 + z^2 = a^2 можно параметризовать, используя параметрический угол \phi для окружности в плоскости xz:  \begin{aligned} x &= a \cos\phi, \ z &= a \sin\phi, \ y &= y. \end{aligned}  Здесь y остается свободным параметром.

3. Ограничения параметров:

   • Уравнение x^2 + y^2 = a^2 ограничивает значение y в зависимости от x:  y^2 = a^2 - x^2 = a^2 - a^2 \cos^2\phi = a^2 \sin^2\phi.  Таким образом, y принимает значения от -a \sin\phi до a \sin\phi.
   • Параметр \phi изменяется от 0 до 2\pi.

4. Элементарная площадь поверхности: Формула для площади параметрической поверхности:  S = \iint\limits_{D} \left\| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\| \, du \, dv,  где \mathbf{r}(u, v) — вектор параметризации.

   В нашем случае:  \mathbf{r}(\phi, y) = \begin{pmatrix} a \cos\phi \ y \ a \sin\phi \end{pmatrix}. 

   Производные:  \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = \begin{pmatrix} -a \sin\phi \ 0 \ a \cos\phi \end{pmatrix}, \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}. 

   Векторное произведение:  \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -a \sin\phi & 0 & a \cos\phi \ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} -a \cos\phi \ 0 \ -a \sin\phi \end{pmatrix}. 

   Норма вектора:  \left\| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \right\| = \sqrt{(-a \cos\phi)^2 + 0^2 + (-a \sin\phi)^2} = a. 

5. Интеграл для площади: Площадь выражается как:  S = \iint\limits_{D} a \, d\phi \, dy. 

   Пределы интегрирования:

   • \phi изменяется от 0 до 2\pi.
   • y изменяется от -a \sin\phi до a \sin\phi.

6. Подставим пределы:  S = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{-a \sin\phi}^{a \sin\phi} a \, dy \, d\phi. 

   Вычислим внутренний интеграл по y:  \int\limits_{-a \sin\phi}^{a \sin\phi} a \, dy = a \cdot \left[ y \right]_{-a \sin\phi}^{a \sin\phi} = a \cdot \left( a \sin\phi - (-a \sin\phi) \right) = 2a^2 \sin\phi. 

   Тогда:  S = \int\limits_{0}^{2\pi} 2a^2 \sin\phi \, d\phi. 

7. Интеграл по \phi: Интеграл от \sin\phi по полному периоду равен нулю:  \int\limits_{0}^{2\pi} \sin\phi \, d\phi = 0. 

Ответ:

Площадь искомой поверхности равна S = 0.