Найти длину ребра с использованием средств векторной алгебры

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, векторная алгебра

Задание:

Найти длину ребра \(A_1A_2\) с использованием средств векторной алгебры.

Решение:

Для измерения длины отрезка \(\overrightarrow{A_1A_2}\) в пространстве необходимо воспользоваться формулой длины вектора в \( \mathbb{R}^3 \):

\[ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. \]

Где:

• \(A_1(x_1, y_1, z_1) = (3, -1, 3)\),
• \(A_2(x_2, y_2, z_2) = (4, 5, -2)\).

Подставим координаты в формулу:

1. Найдем разности координат:
   • \[ x_2 - x_1 = 4 - 3 = 1, \]
   • \[ y_2 - y_1 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6, \]
   • \[ z_2 - z_1 = -2 - 3 = -5. \]
2. Подставим значения в формулу длины:

   \[ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{(1)^2 + (6)^2 + (-5)^2}. \]

3. Возведем в квадрат каждую компоненту:

   \[ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{1^2 + 6^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 36 + 25}. \]

4. Просуммируем:

   \[ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{62}. \]

5. Корень из 62 можно оставить в иррациональной форме или вычислить приближённое значение:

   \[ \sqrt{62} \approx 7.874. \]

Ответ:

Длина ребра \(A_1A_2\) равна:

\[ \sqrt{62} \ (\text{точно}) \] или \[ 7.874 \ (\text{приблизительно}). \]