Найти длину ребра

1. Определение предмета

Данная задача относится к курсу математики, разделу "аналитическая геометрия" и "векторное исчисление".

---

Решение:

Вершины пирамиды:

• \( A_1(4, 2, 5) \)
• \( A_2(0, 7, 2) \)
• \( A_3(0, 2, 7) \)
• \( A_4(1, 5, 0) \)

---

a) Найти длину ребра \( A_1A_2 \)

Чтобы найти длину ребра, используем формулу длины вектора в пространстве:

\[ |A_1A_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. \]

Для точки \( A_1(4, 2, 5) \) и \( A_2(0, 7, 2) \):

\[ |A_1A_2| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (7 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}. \]

\[ |A_1A_2| = 5\sqrt{2}. \]

---

b) Найти площадь грани \( A_1A_2A_3 \)

Площадь треугольника в пространстве определяется через векторы. Вычислим векторы \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_3} \):

\[ \vec{A_1A_2} = (0 - 4, 7 - 2, 2 - 5) = (-4, 5, -3), \]

\[ \vec{A_1A_3} = (0 - 4, 2 - 2, 7 - 5) = (-4, 0, 2). \]

Найдем их векторное произведение \( \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} \), чтобы затем определить площадь:

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 5 & -3 \\ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix}. \]

Вычислим определитель:

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \mathbf{i}(5 \cdot 2 - (-3) \cdot 0) - \mathbf{j}((-4) \cdot 2 - (-3) \cdot (-4)) + \mathbf{k}((-4) \cdot 0 - 5 \cdot (-4)). \]

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \mathbf{i}(10) - \mathbf{j}(-8 - 12) + \mathbf{k}(20), \]

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \mathbf{i}(10) - \mathbf{j}(-20) + \mathbf{k}(20). \]

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = (10, 20, 20). \]

Длина вектора:

\[ |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \sqrt{10^2 + 20^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 400 + 400} = \sqrt{900} = 30. \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15. \]

---

c) Угол между рёбрами \( A_1A_2 \) и \( A_1A_4 \)

Векторы \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_4} \):

\[ \vec{A_1A_4} = (1 - 4, 5 - 2, 0 - 5) = (-3, 3, -5). \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = (-4)(-3) + (5)(3) + (-3)(-5) = 12 + 15 + 15 = 42. \]

Длины векторов:

\[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{50}, \quad |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43}. \]

Косинус угла:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| \cdot |\vec{A_1A_4}|} = \frac{42}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{43}} = \frac{42}{\sqrt{2150}}. \]

---

d) Объём пирамиды

Объём пирамиды через определитель:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{pmatrix} -4 & 5 & -3 \\ -4 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & -5 \end{pmatrix} \right|. \]

Вычислим определитель:

\[ \det = -4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -5 \end{vmatrix} + -3 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -3 & 3 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем каждый минор:

\[ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-5) - 2 \cdot 3 = -6, \]

\[ \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -5 \end{vmatrix} = (-4)(-5) - 2(-3) = 20 + 6 = 26, \]

\[ \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (-4)(3) - 0(-3) = -12. \]

Собираем определитель:

\[ \det = -4(-6) - 5(26) - 3(-12) = 24 - 130 + 36 = -70. \]

Объём:

---

Ответ:

• a) Длина \( A_1A_2 = 5\sqrt{2} \).
• b) Площадь \( A_1A_2A_3 = 15 \).
• c) Угол между рёбрами \( \cos \theta = \frac{42}{\sqrt{2150}} \).
• d) Объём \( V = \frac{35}{3} \).

\[ V = \frac{1}{6} | -70 | = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}. \]