Написать разложение вектора X по векторам p,q r

Определение предмета и раздела

Задача относится к линейной алгебре, раздел разложение вектора по базису.

Условие

Имеется вектор \( \vec{x} = \{23, -14, -30\} \) и три вектора:

• \( \vec{p} = \{2, 1, 0\} \),
• \( \vec{q} = \{1, -1, 0\} \),
• \( \vec{r} = \{-3, 2, 5\} \).

Необходимо разложить вектор \( \vec{x} \) по векторам \( \vec{p}, \vec{q}, \vec{r} \), то есть найти такие коэффициенты \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \), что:

\[ \vec{x} = \alpha \vec{p} + \beta \vec{q} + \gamma \vec{r}. \]

Иными словами, требуется решить систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов.

Шаг 1: Запись системы линейных уравнений

Векторное разложение можно представить компонентно:

\[ \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 \\ -14 \\ -30 \end{pmatrix}. \]

Это даёт систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2\alpha + \beta - 3\gamma = 23, \\ \alpha - \beta + 2\gamma = -14, \\ 5\gamma = -30. \end{cases} \]

Шаг 2: Решение системы

Рассмотрим третье уравнение:

\[ 5\gamma = -30 \quad \Rightarrow \quad \gamma = -6. \]

Теперь подставим \( \gamma = -6 \) в первые два уравнения:

1. Первое уравнение:

   \[ 2\alpha + \beta - 3(-6) = 23 \quad \Rightarrow \quad 2\alpha + \beta + 18 = 23 \quad \Rightarrow \quad 2\alpha + \beta = 5. \]

2. Второе уравнение:

   \[ \alpha - \beta + 2(-6) = -14 \quad \Rightarrow \quad \alpha - \beta - 12 = -14 \quad \Rightarrow \quad \alpha - \beta = -2. \]

Теперь решим систему:

\[ \begin{cases} 2\alpha + \beta = 5, \\ \alpha - \beta = -2. \end{cases} \]

Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим \( \alpha \):

\[ \alpha = \beta - 2. \]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[ 2(\beta - 2) + \beta = 5 \quad \Rightarrow \quad 2\beta - 4 + \beta = 5 \quad \Rightarrow \quad 3\beta = 9 \quad \Rightarrow \quad \beta = 3. \]

Теперь найдём \( \alpha \) из уравнения \( \alpha = \beta - 2 \):

\[ \alpha = 3 - 2 = 1. \]

Ответ

Коэффициенты разложения:

\[ \alpha = 1, \quad \beta = 3, \quad \gamma = -6. \]

Итак, разложение вектора \( \vec{x} \) по векторам \( \vec{p}, \vec{q}, \vec{r} \) имеет вид:

\[ \vec{x} = 1 \cdot \vec{p} + 3 \cdot \vec{q} - 6 \cdot \vec{r}. \]