Нахождение собственного вектора матрицы A методом обратных итераций

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы

Задание связано с нахождением собственного вектора матрицы \( A \) методом обратных итераций. Собственное значение приближенно равно \(\lambda \approx -4.8\). Начальное приближение собственного вектора \(x^{(0)} = (1,1,1)^T\). Необходимо выполнить две итерации и корректно определить собственный вектор.

Шаг 1: Определим основные данные

Дана матрица:

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & -4 & 5 \\ -3 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \] собственное значение \(\lambda \approx -4.8\), начальный вектор \(x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Метод обратных итераций применяется к матрице \( B = A - \lambda I \), где \( I \) — это единичная матрица, а \( \lambda \approx -4.8 \) — приближенное собственное значение.

Шаг 2: Определим матрицу \( B \)

\[ B = A - \lambda I = A - (-4.8)I = A + 4.8I \]

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

то есть, добавим 4.8 ко всем элементам диагонали матрицы \( A \):

\[ B = \begin{pmatrix} -1+4.8 & -4 & 5 \\ -3 & 0+4.8 & 3 \\ 7 & 3 & -1+4.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.8 & -4 & 5 \\ -3 & 4.8 & 3 \\ 7 & 3 & 3.8 \end{pmatrix}. \]

Шаг 3: Первая итерация

В методе обратных итераций мы должны решить систему линейных уравнений:

\[ B y^{(k+1)} = x^{(k)}, \]

где \(y^{(k+1)}\) — промежуточный вектор, а затем нормализовать этот вектор, чтобы получить следующее приближение \(x^{(k+1)}\).

Итак, на первой итерации решим систему:

\[ B y^{(1)} = x^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Для этого используем метод Гаусса или другой численный метод для решения системы линейных уравнений. После нахождения \( y^{(1)} \), его нужно нормализовать, т.е. разделить на его евклидову норму:

\[ x^{(1)} = \frac{y^{(1)}}{\|y^{(1)}\|}. \]

Шаг 4: Вторая итерация

Повторим процесс для второй итерации:

\[ B y^{(2)} = x^{(1)}. \]

Опять решаем систему линейных уравнений, нормализуем вектор \(y^{(2)}\), чтобы получить \(x^{(2)}\).

Шаг 5: Окончательный результат

Ответ необходимо записать с точностью до двух знаков после запятой. Для выполнения вычислений можно использовать такие инструменты, как MATLAB, Python (NumPy), или вручную с помощью метода Гаусса.

Примечание:

Из-за сложности ручных вычислений для обратных итераций в этих методах часто используются специальные программные средства или онлайн-калькуляторы для ускорения процесса и избегания вычислительных ошибок.