Элементарные преобразования над матрицами

Предмет: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Раздел: Векторы, матрицы, уравнения прямых и плоскостей

Задание 1. Найти проекцию вектора

[ \vec{a} = 5\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k} ]
на вектор
[ \vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}. ]

Решение:

Формула проекции одного вектора на другой:
\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2} \cdot \vec{b},
где
\vec{a} \cdot \vec{b} — скалярное произведение векторов,
\|\vec{b}\|^2 — квадрат длины вектора \vec{b}.

1. Найдем скалярное произведение:
    \vec{a} \cdot \vec{b} = (5 \cdot 2) + (2 \cdot (-1)) + (5 \cdot 2) = 10 - 2 + 10 = 18. 

2. Найдем квадрат длины вектора \vec{b}:
    \|\vec{b}\|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9. 

3. Подставляем в формулу проекции:
    \text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{18}{9} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}. 

Ответ:
Проекция вектора \vec{a} на \vec{b}:
\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}.

Задание 2. Элементарные преобразования над матрицами

Элементарные преобразования включают:

1. Перестановку строк.
2. Умножение строки на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число.

Пример: если нужно выполнить преобразования, уточните задачу.

Задание 3. Условие коллинеарности двух векторов

Два вектора \vec{a} и \vec{b} коллинеарны, если существует число k, такое что:
\vec{a} = k\vec{b}.

Или, эквивалентно, их координаты пропорциональны:
\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}.

Если есть конкретные векторы, укажите их для проверки.

Задание 4. Уравнение плоскости через точку

A(2; 1; 3), B(1; 1; 2), C(3; 1; 4), перпендикулярно прямой BC.

Решение:

1. Найдем вектор \vec{BC}:
    \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (3 - 1; 1 - 1; 4 - 2) = (2; 0; 2). 

2. Найдем векторы \vec{AB} и \vec{AC}:
    \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1 - 2; 1 - 1; 2 - 3) = (-1; 0; -1), \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3 - 2; 1 - 1; 4 - 3) = (1; 0; 1). 

3. Векторное произведение для нормали плоскости:
    \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -1 & 0 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(-1 - (-1)) + \vec{k}(-1 - 0) = (0; 0; -1). 

4. Уравнение плоскости:
   Общее уравнение:
    n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0. 

Подставляем точку A(2; 1; 3):
 0(x - 2) + 0(y - 1) - 1(z - 3) = 0 \implies z - 3 = 0. 

Ответ:
Уравнение плоскости: z = 3.

Задание 5. Уравнение прямой через точку

Прямая проходит через точку A(-2; 1; 0) и параллельна прямой
x = 2t - 3, y = 4, z = -3t + 1.

Решение:

1. Направляющий вектор прямой:
   Направляющий вектор заданной прямой:
   \vec{d} = (2; 0; -3).

2. Параметрическое уравнение новой прямой:
   Через точку A(-2; 1; 0) с направляющим вектором \vec{d}:
    x = -2 + 2t, \quad y = 1, \quad z = 0 - 3t. 

Ответ:
 x = -2 + 2t, \quad y = 1, \quad z = -3t. 

Задание 6. Найти ранг матрицы

 A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 & 2 \ 0 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. 

Решение:

Приведем матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований.

1. Оставим первую строку без изменений:
    \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 & 2 \ 0 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. 

2. Обнулим элемент a_{21}:
    R_2 \to R_2 - \frac{1}{2}R_1: \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 & 1 \ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \ 0 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. 

3. Обнулим элемент a_{31}:

   R_3 \to R_3: \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 & 1 \\ ....