Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию вектороного поля по замкнутой кривой

Предмет: Математика

Раздел: Векторный анализ (Теорема Стокса)

Используем формулу Стокса, которая связывает циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с потоком ротора этого поля через поверхность, ограниченную этим контуром:

 \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} 

где:

• L — замкнутая кривая,
• S — поверхность, ограниченная этой кривой,
• \mathbf{F} = (y+z, x+z, -(x+y)) — заданное векторное поле,
• \nabla \times \mathbf{F} — ротор векторного поля,
• d\mathbf{S} — вектор элементарной площади поверхности.

1. Вычислим ротор векторного поля

Ротор векторного поля \mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) вычисляется как:

 \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ y+z & x+z & -(x+y) \end{vmatrix} 

Вычисляем определитель:

 \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial (-(x+y))}{\partial y} - \frac{\partial (x+z)}{\partial z} \right) + \mathbf{j} \left( \frac{\partial (y+z)}{\partial z} - \frac{\partial (-(x+y))}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial (x+z)}{\partial x} - \frac{\partial (y+z)}{\partial y} \right) 

Вычисляем частные производные:

• \frac{\partial (-(x+y))}{\partial y} = -1,
• \frac{\partial (x+z)}{\partial z} = 1,
• \frac{\partial (y+z)}{\partial z} = 1,
• \frac{\partial (-(x+y))}{\partial x} = -1,
• \frac{\partial (x+z)}{\partial x} = 1,
• \frac{\partial (y+z)}{\partial y} = 1.

Подставляем:

 \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{i} ( -1 - 1 ) + \mathbf{j} ( 1 - (-1) ) + \mathbf{k} ( 1 - 1 ) 

 \nabla \times \mathbf{F} = -2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} 

Итак, \nabla \times \mathbf{F} = (-2, 2, 0).

2. Выбираем поверхность

Кривая L задана уравнением x^2 + z^2 = 9, y = 1, то есть окружность радиуса 3 в плоскости y = 1.
Естественным выбором поверхности S является круг x^2 + z^2 \leq 9 в плоскости y = 1.

Элемент площади на этой поверхности:
d\mathbf{S} = (0, 1, 0) dS,
где dS — элемент площади круга.

3. Вычисляем поток ротора через поверхность

 \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (-2, 2, 0) \cdot (0, 1, 0) dS 

Скалярное произведение:

 (-2, 2, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 

Таким образом,

 \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S 2 dS 

Площадь круга радиуса 3:

 S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi 

Следовательно,

 \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = 2 \cdot 9\pi = 18\pi 

4. Учитываем ориентацию обхода

Обход кривой L происходит по часовой стрелке, если смотреть из точки A(0,3,0).
Так как нормаль (0,1,0) направлена вверх, а обход должен быть против часовой стрелки (по правилу правой руки), то реальный поток ротора через поверхность должен быть взят с минусом:

 \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -18\pi 

Ответ:

\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -18\pi