Вычислить поток векторного поля

Определение предмета и раздела:

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Теорема Остроградского-Гаусса (Дивергентная теорема)

Решение:

Нам нужно вычислить поток векторного поля
\mathbf{F} = x\mathbf{i} + (2+y)\mathbf{j} + xz\mathbf{k}
через полную поверхность пирамиды, используя теорему Остроградского-Гаусса:

\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dV

1. Вычислим дивергенцию векторного поля:

Дивергенция векторного поля определяется как:

\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Подставляем компоненты:

\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial (2+y)}{\partial y} + \frac{\partial (xz)}{\partial z}

\operatorname{div} \mathbf{F} = 1 + 1 + x = x + 2

2. Определим объем пирамиды:

Пирамида ограничена плоскостями:

• y + z = 1 (верхняя грань)
• x = 2 (правая грань)
• z = 0 (нижняя грань)
• x = 0 (левая грань)
• y = 0 (передняя грань)

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}

Основание — это треугольник на плоскости y+z=1 при x=0 или x=2.
При x=2, уравнение основания y+z=1 описывает треугольник с вершинами (0,0,1), (0,1,0), (2,0,0).
Площадь этого треугольника:

S = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}

Высота пирамиды — это длина отрезка x = 2.
Тогда объем:

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{1}{3}

3. Вычисляем поток:

\iiint\limits_{V} (x + 2) \, dV

Разделим интеграл на два:

\iiint\limits_{V} x \, dV + \iiint\limits_{V} 2 \, dV

Первый интеграл:

\iiint\limits_{V} x \, dV = \int_0^2 x \, dx \int_0^{1-x/2} dy \int_0^{1-y} dz

После вычислений получаем:

\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Ответ:

Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды:

\frac{4}{3}