Вычислить массу части поверхности, если поверхностная плотность известна

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ, поверхностные интегралы

Нам нужно вычислить массу части поверхности ( z = x^2 + y^2 ), где ( z \leq 4 ), при заданной поверхностной плотности ( \mu(x, y, z) = 1 + z ).

Масса поверхности вычисляется с помощью поверхностного интеграла:

M = \iint\limits_S \mu(x, y, z) \, dS,

где ( dS ) — элемент площади поверхности.

Шаг 1. Найдем элемент площади поверхности ( dS )

Для параметрически заданной поверхности ( z = f(x, y) = x^2 + y^2 ), элемент площади выражается как:

dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy.

Вычислим частные производные ( \frac{\partial z}{\partial x} ) и ( \frac{\partial z}{\partial y} ):

 \frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y. 

Подставим их в формулу для ( dS ):

 dS = \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} \, dx \, dy = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dx \, dy. 

Шаг 2. Выразим плотность через параметры

Плотность ( \mu(x, y, z) ) равна ( 1 + z ). Подставим ( z = x^2 + y^2 ):

 \mu(x, y, z) = 1 + x^2 + y^2. 

Шаг 3. Переход к полярным координатам

Так как поверхность ограничена условием ( z = x^2 + y^2 \leq 4 ), это соответствует окружности радиуса ( r = 2 ) в плоскости ( xOy ). Переходим к полярным координатам:

 x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta, \quad x^2 + y^2 = r^2. 

Якобиан перехода: ( dx \, dy = r \, dr \, d\theta ).

Теперь выражаем все в полярных координатах:

• ( \mu(x, y, z) = 1 + r^2 ),
• ( dS = \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta ).

Шаг 4. Запись двойного интеграла

Масса поверхности:

 M = \iint\limits_S \mu(x, y, z) \, dS = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^2 (1 + r^2) \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta. 

Шаг 5. Вычисление интеграла

Разделим интеграл на два:

 M = \int\limits_0^{2\pi} d\theta \cdot \int\limits_0^2 (1 + r^2) \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr. 

Интеграл по ( \theta ):

 \int\limits_0^{2\pi} d\theta = 2\pi. 

Теперь вычислим интеграл по ( r ):

 I = \int\limits_0^2 (1 + r^2) \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr. 

Разложим ( I ):

 I = \int\limits_0^2 r \sqrt{1 + 4r^2} \, dr + \int\limits_0^2 r^3 \sqrt{1 + 4r^2} \, dr. 

Для вычисления каждого из этих интегралов сделаем замену ( u = 1 + 4r^2 ), тогда ( du = 8r \, dr ), и пределы ( u ) изменятся:

• при ( r = 0 ), ( u = 1 ),
• при ( r = 2 ), ( u = 17 ).

Первый интеграл:

 \int r \sqrt{1 + 4r^2} \, dr = \frac{1}{8} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{12} u^{3/2}. 

Подставим пределы:

 \frac{1}{12} \left[ u^{3/2} \right]_1^{17} = \frac{1}{12} \left( 17^{3/2} - 1^{3/2} \right). 

Второй интеграл:

 \int r^3 \sqrt{1 + 4r^2} \, dr = \frac{1}{8} \int (u - 1) \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \left( \int u^{3/2} \, du - \int u^{1/2} \, du \right). 

Вычислим оба интеграла:

 \int u^{3/2} \, du = \frac{2}{5} u^{5/2}, \quad \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2}. 

Подставим и раскроем:

 \frac{1}{8} \left( \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right) = \frac{1}{20} u^{5/2} - \frac{1}{12} u^{3/2}. 

Подставим пределы:

 \left[ \frac{1}{20} u^{5/2} - \frac{1}{12} u^{3/2} \right]_1^{17}. 

Итоговая масса

Подставив значения двух интегралов, умножим результат на ( 2\pi ).