Вычисление работы векторного поля по замкнутому контуру

Предмет: Векторный анализ

Раздел: Вычисление работы векторного поля по замкнутому контуру

Для решения задачи мы будем использовать теорему Стокса, которая связывает циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с потоком ротора этого поля через поверхность, ограниченную контуром.

1. Условие задачи

Дано векторное поле \mathbf{A} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k}. Требуется найти работу этого поля по замкнутому контуру, заданному пересечением сферической поверхности x^2 + y^2 + z^2 = R^2 и конуса x^2 + y^2 = z^2, где z > 0. Обход контура осуществляется по правилу правого винта относительно оси z.

2. Теорема Стокса

Теорема Стокса утверждает, что:

 \oint\limits_{C} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S}, 

где:

• C — замкнутый контур,
• S — поверхность, ограниченная контуром C,
• \nabla \times \mathbf{A} — ротор векторного поля \mathbf{A},
• d\mathbf{S} — вектор элементарной площади поверхности S, направленный по правилу правого винта относительно обхода C.

3. Вычисление ротора векторного поля

Вычислим ротор векторного поля \mathbf{A} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k}:

 \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ y & -x & z \end{vmatrix}. 

Разложим определитель:

 \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial (-x)}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial (-x)}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} \right). 

Выполним дифференцирование:

 \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{i} (0 - 0) - \mathbf{j} (0 - 0) + \mathbf{k} (-1 - 1). 

Таким образом, ротор поля:

 \nabla \times \mathbf{A} = -2\mathbf{k}. 

4. Вычисление потока ротора через поверхность

Контур C ограничивает поверхность S, которая представляет собой верхнюю часть конуса x^2 + y^2 = z^2, вписанную в сферу x^2 + y^2 + z^2 = R^2. Учитывая симметрию задачи, выберем параметризацию поверхности и вычислим поток.

Параметризация поверхности

Конус x^2 + y^2 = z^2 можно параметризовать в цилиндрических координатах:

 x = r\cos\phi, \quad y = r\sin\phi, \quad z = r, 

где 0 \leq r \leq R / \sqrt{2} (радиус ограничен пересечением с шаром), 0 \leq \phi \leq 2\pi.

Элементарный вектор площади поверхности:

 d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dS, 

где \mathbf{n} — единичный вектор нормали к поверхности. Для конуса нормаль направлена вверх, совпадая с осью z, поэтому \mathbf{n} = \mathbf{k}.

Площадь поверхности в цилиндрических координатах:

 dS = r \, dr \, d\phi. 

Поток ротора через поверхность

Подставим выражения в интеграл:

 \iint\limits_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = \iint\limits_{S} (-2\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{k} \, dS). 

Скалярное произведение \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1, поэтому:

 \iint\limits_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = -2 \iint\limits_{S} dS. 

Площадь поверхности S в цилиндрических координатах:

 \iint\limits_{S} dS = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{R / \sqrt{2}} r \, dr \, d\phi. 

Вычислим интеграл:

 \int\limits_{0}^{R / \sqrt{2}} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R / \sqrt{2}} = \frac{(R / \sqrt{2})^2}{2} = \frac{R^2}{4}. 

Теперь интеграл по \phi:

 \int\limits_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi. 

Итак, площадь поверхности:

 \iint\limits_{S} dS = \frac{R^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi R^2}{2}. 

Поток ротора:

 \iint\limits_{S} (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{S} = -2 \cdot \frac{\pi R^2}{2} = -\pi R^2. 

5. Работа векторного поля

Согласно теореме Стокса, работа векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора через поверхность:

 \oint\limits_{C} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} = -\pi R^2. 

Ответ:

Работа векторного поля \mathbf{A} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j} + z\mathbf{k} по заданному контуру равна:

 -\pi R^2.