Вычисление потока векторного поля через поверхность, используя теорему Остроградского-Гаусса

Определение предмета и раздела

Это задача по векторному анализу из курса математического анализа или теоретической физики. Она связана с вычислением потока векторного поля через поверхность, используя теорему Остроградского-Гаусса.

Решение

1. Формулировка задачи

Дано векторное поле:

 \mathbf{F} = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k} 

Поверхность — часть параболоидной поверхности:

 z = \frac{H}{R^2} (x^2 + y^2), \quad z \leq H. 

Требуется найти поток в направлении внутренней нормали.

2. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

Согласно теореме Гаусса, поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции по объему:

 \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV. 

Дивергенция векторного поля:

 \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial z} (z^2). 

Вычисляем:

 \nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 2y + 2z. 

Так как поток считается через часть поверхности, замкнутый объем — это параболоид, замкнутый диском основания радиуса R при z = H.

3. Вычисление тройного интеграла

В цилиндрических координатах:

 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. 

Дивергенция переписывается как:

 \nabla \cdot \mathbf{F} = 2r\cos\theta + 2r\sin\theta + 2z. 

Вычисляем интеграл по объему:

 \iiint_V (2r\cos\theta + 2r\sin\theta + 2z) \, dV. 

Объемный элемент:

 dV = r \, dr \, d\theta \, dz. 

Пределы интегрирования:

• 0 \leq r \leq R,
• 0 \leq \theta \leq 2\pi,
• \frac{H}{R^2} r^2 \leq z \leq H.

Рассмотрим по частям:

1. Интеграл от 2r\cos\theta и 2r\sin\theta зануляется из-за симметрии.
2. Остался интеграл:

 2 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r \, dr \int_{\frac{H}{R^2}r^2}^{H} z \, dz. 

Рассчитываем по порядку:

 \int_{\frac{H}{R^2}r^2}^{H} z \, dz = \frac{H^2}{2} - \frac{H^3}{2R^4} r^4. 

Далее:

 \int_0^R r \left(\frac{H^2}{2} - \frac{H^3}{2R^4} r^4 \right) dr. 

Вычисляем:

 \frac{H^2}{2} \int_0^R r \, dr - \frac{H^3}{2R^4} \int_0^R r^5 \, dr. 

 = \frac{H^2}{2} \cdot \frac{R^2}{2} - \frac{H^3}{2R^4} \cdot \frac{R^6}{6}. 

 = \frac{H^2 R^2}{4} - \frac{H^3 R^2}{12}. 

Умножаем на 2\pi:

 \frac{\pi H^2 R^2}{2} - \frac{\pi H^3 R^2}{6}. 

4. Ответ

Поток в направлении внутренней нормали:

 \Phi = \frac{\pi H^2 R^2}{2} - \frac{\pi H^3 R^2}{6}. 

Это и есть искомый поток векторного поля через поверхность параболоида.