Теорема Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через поверхность

Определение предмета и раздела

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Теорема Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через поверхность

Решение

Нам нужно найти поток векторного поля
\mathbf{F} = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k}
через часть поверхности параболоид
z = \frac{H}{R^2} (x^2 + y^2), \quad z \leq H
в направлении внутренней нормали.

1. Применение теоремы Остроградского-Гаусса

Согласно теореме Остроградского-Гаусса, поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой поверхностью:

 \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dV. 

2. Вычисление дивергенции

Дивергенция векторного поля \mathbf{F} определяется как:

 \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}. 

Подставляем:

 \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial z} (z^2) = 2x + 2y + 2z. 

3. Вычисление потока через объем

Объем V — это тело, ограниченное параболоидом z = \frac{H}{R^2} (x^2 + y^2) и плоскостью z = H. Удобно перейти в цилиндрические координаты:

 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z. 

Якобиан перехода: dV = r \, dr \, d\theta \, dz.
Пределы интегрирования:

• 0 \leq r \leq R (основание круга радиуса R),
• 0 \leq \theta \leq 2\pi (полный оборот),
• \frac{H}{R^2} r^2 \leq z \leq H (от параболоида до верхней плоскости).

Интеграл:

 \iiint\limits_{V} (2x + 2y + 2z) \, dV = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^R \int\limits_{\frac{H}{R^2} r^2}^{H} (2r\cos\theta + 2r\sin\theta + 2z) r \, dz \, dr \, d\theta. 

Первые два слагаемых (зависят от \cos\theta и \sin\theta) дают нулевой вклад при интегрировании по \theta, остается только:

 \int\limits_0^{2\pi} d\theta \int\limits_0^R dr \int\limits_{\frac{H}{R^2} r^2}^{H} 2z r \, dz. 

Вычисляем внутренний интеграл:

 \int\limits_{\frac{H}{R^2} r^2}^{H} 2z \, dz = \left[ z^2 \right]_{\frac{H}{R^2} r^2}^{H} = H^2 - \left( \frac{H}{R^2} r^2 \right)^2. 

Подставляем и интегрируем по r и \theta. После вычислений получаем:

 \Phi = \frac{2\pi H^3}{3}. 

Так как требуется поток в направлении внутренней нормали, ответ будет с отрицательным знаком:

 \Phi = -\frac{2\pi H^3}{3}. 

Ответ: \Phi = -\frac{2\pi H^3}{3}.