Теорема Остроградского-Гаусса (Дивергентная теорема)

Предмет: Векторный анализ

Раздел: Теорема Остроградского-Гаусса (Дивергентная теорема)

Решение

Нам нужно вычислить поток векторного поля
F = (x^2 y) \mathbf{i} + (y^2 x) \mathbf{j} + (x^2 + y^2) \mathbf{k}
через внешнюю часть поверхности цилиндра x^2 + y^2 = 1 в первой координатной четверти (x \geq 0, y \geq 0), ограниченной плоскостями z = 1 и z = 0.

Используем теорему Остроградского-Гаусса, которая гласит:
\iint\limits_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_V \text{div} \mathbf{F} \, dV
где \text{div} \mathbf{F} — дивергенция векторного поля.

1. Вычислим дивергенцию поля

Дивергенция векторного поля определяется как:
\text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Вычисляем частные производные:
 \frac{\partial}{\partial x} (x^2 y) = 2x y, \quad \frac{\partial}{\partial y} (y^2 x) = 2y x, \quad \frac{\partial}{\partial z} (x^2 + y^2) = 0 

Тогда
\text{div} \mathbf{F} = 2xy + 2yx + 0 = 4xy.

2. Вычислим тройной интеграл

Объем V — это цилиндр x^2 + y^2 \leq 1 в первой четверти, ограниченный плоскостями z = 0 и z = 1. Перейдём в цилиндрические координаты:
x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta, \quad dV = r \, dr \, d\theta \, dz.

Тогда
\text{div} \mathbf{F} = 4xy = 4 (r \cos\theta) (r \sin\theta) = 4r^2 \cos\theta \sin\theta.

Интеграл:
\iiint\limits_V 4r^2 \cos\theta \sin\theta \, dV
в пределах
0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq z \leq 1.

Разделяем интегралы:
\int\limits_0^1 r^2 \, dr \int\limits_0^{\pi/2} 4 \cos\theta \sin\theta \, d\theta \int\limits_0^1 dz.

Вычисляем по частям:
\int\limits_0^1 r^2 \, dr = \frac{1}{3},
\int\limits_0^1 dz = 1,
\int\limits_0^{\pi/2} 4 \cos\theta \sin\theta \, d\theta = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \sin 2\theta \, d\theta = 2 \left[-\frac{1}{2} \cos 2\theta \right]_0^{\pi/2} = 2 \left[-\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right] = 2 \left[-\frac{1}{2} (-1 - 1) \right] = 2.

Тогда
\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{2}{3}.

Ответ

Поток векторного поля через поверхность равен \frac{2}{3}.