Решение задачи теоремой Стокса

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Теорема Стокса

Для решения задачи используем теорему Стокса, которая гласит:

 \oint\limits_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS, 

где:

• ( \mathbf{F} ) — векторное поле,
• ( L ) — замкнутая кривая,
• ( S ) — поверхность, ограниченная кривой ( L ),
• ( \nabla \times \mathbf{F} ) — ротор векторного поля ( \mathbf{F} ),
• ( \mathbf{n} ) — единичный вектор нормали к поверхности ( S ),
• ( dS ) — элемент площади.

Шаг 1. Определим ротор векторного поля ( \mathbf{F} )

Векторное поле задано как:  \mathbf{F} = (y + z) \mathbf{i} + (x + z) \mathbf{j} - (x + y) \mathbf{k}. 

Формула для ротора:  \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ y + z & x + z & -(x + y) \end{vmatrix}. 

Рассчитаем ротор:

1. Компонента по ( \mathbf{i} ):  \frac{\partial (-(x + y))}{\partial y} - \frac{\partial (x + z)}{\partial z} = -1 - 1 = -2. 

2. Компонента по ( \mathbf{j} ):  \frac{\partial (y + z)}{\partial z} - \frac{\partial (-(x + y))}{\partial x} = 1 - (-1) = 2. 

3. Компонента по ( \mathbf{k} ):  \frac{\partial (x + z)}{\partial x} - \frac{\partial (y + z)}{\partial y} = 1 - 1 = 0. 

Итак, ротор:  \nabla \times \mathbf{F} = -2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}. 

Шаг 2. Определим поверхность ( S ) и нормаль ( \mathbf{n} )

Кривая ( L ) — окружность ( x^2 + z^2 = 9 ), ( y = 1 ).
Это окружность в плоскости ( y = 1 ) с радиусом ( R = 3 ).
Выберем поверхность ( S ) как круг в плоскости ( y = 1 ), ограниченный кривой ( L ).

Единичный вектор нормали к плоскости ( y = 1 ) направлен по оси ( y ) (вверх):  \mathbf{n} = \mathbf{j}. 

Шаг 3. Вычислим поток ротора через поверхность ( S )

Скалярное произведение:  (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = (-2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}) \cdot \mathbf{j} = 2. 

Элемент площади для круга:  dS = dA, \quad \text{где } dA \text{ — элемент площади круга.} 

Площадь круга:  \iint\limits_S dA = \pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi. 

Поток ротора:  \iint\limits_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = 2 \cdot 9\pi = 18\pi. 

Шаг 4. Заключение

По теореме Стокса:  \oint\limits_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = 18\pi. 

Ответ:  \boxed{18\pi}.