Определить направление вектора производной вектор-функции, которая имеет постоянную длину.

Предмет: Векторный анализ (математический анализ)
Раздел: Производные векторных функций

Разбор задачи:

Нам нужно определить направление вектора производной вектор-функции, которая имеет постоянную длину.

Пусть дана вектор-функция \mathbf{r}(t), зависящая от параметра t. Условие постоянной длины означает, что модуль этой функции не меняется с течением времени. То есть выполняется равенство:

 |\mathbf{r}(t)| = \text{const}. 

Квадрат длины вектора можно записать как:

 |\mathbf{r}(t)|^2 = \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t), 

где \cdot — скалярное произведение. Так как длина постоянна, производная от этого выражения по времени равна нулю:

 \frac{d}{dt} \big(|\mathbf{r}(t)|^2\big) = 0. 

Вычислим производную:

Применим правило дифференцирования:

 \frac{d}{dt} \big(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)\big) = 2 \cdot \mathbf{r}(t) \cdot \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}. 

Так как длина постоянна, то:

 \mathbf{r}(t) \cdot \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = 0. 

Интерпретация результата:

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если они ортогональны. Это означает, что производная \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} всегда перпендикулярна самому вектору \mathbf{r}(t).

Вывод:

Если вектор-функция имеет постоянную длину, то направление вектора производной всегда перпендикулярно направлению самого вектора.