Найти работу силы при перемещении вдоль параболы от точки

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ, работа силы

Дано:
Вектор силы
 \vec{F} = \left(y \sqrt{x^2 + y^2} + x \right) \vec{i} + \left(y - \sqrt{x^2 + y^2} \right) \vec{j} 

Кривая (путь перемещения) задана параболой
 8y = 16 - x^2 \implies y = 2 - \frac{x^2}{8} 

Начальная точка  M(4,0) 
Конечная точка  P(0,4) 

Шаг 1. Найдем дифференциалы перемещения

Путь задан параметрически через  x , а  y  выражено через  x :
 y = 2 - \frac{x^2}{8} 

Дифференциал  dy :
 dy = -\frac{x}{4} dx 

Перемещение:
 d\vec{r} = dx \vec{i} + dy \vec{j} = dx \vec{i} - \frac{x}{4} dx \vec{j} = \left(1, -\frac{x}{4}\right) dx 

Шаг 2. Работа силы

Работа силы при перемещении вдоль кривой:
 A = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{x=4}^{x=0} \vec{F}(x,y) \cdot \left(1, -\frac{x}{4}\right) dx 

Подставим компоненты силы:
 \vec{F} = \left(y \sqrt{x^2 + y^2} + x, \quad y - \sqrt{x^2 + y^2} \right) 

Скалярное произведение:
 \vec{F} \cdot d\vec{r} = \left(y \sqrt{x^2 + y^2} + x \right) \cdot 1 + \left(y - \sqrt{x^2 + y^2} \right) \cdot \left(-\frac{x}{4}\right) 
 = y \sqrt{x^2 + y^2} + x - \frac{x y}{4} + \frac{x}{4} \sqrt{x^2 + y^2} 

Шаг 3. Подставим  y  и упростим

 y = 2 - \frac{x^2}{8} 

Вычислим  \sqrt{x^2 + y^2} :
 \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + \left(2 - \frac{x^2}{8}\right)^2} 

Раскроем квадрат:
 \left(2 - \frac{x^2}{8}\right)^2 = 4 - \frac{2 \cdot 2 x^2}{8} + \frac{x^4}{64} = 4 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} 

Тогда под корнем:
 x^2 + y^2 = x^2 + 4 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} = 4 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} 

Можно переписать:
 4 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} = \left(2 + \frac{x^2}{8}\right)^2 

Проверим:
 \left(2 + \frac{x^2}{8}\right)^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{x^2}{8} + \frac{x^4}{64} = 4 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} 

Значит:
 \sqrt{x^2 + y^2} = 2 + \frac{x^2}{8} 

Шаг 4. Подставим в выражение для работы

Подставим в скалярное произведение:
 y \sqrt{x^2 + y^2} = \left(2 - \frac{x^2}{8}\right) \left(2 + \frac{x^2}{8}\right) = 4 + \frac{2 x^2}{8} - \frac{2 x^2}{8} - \frac{x^4}{64} = 4 - \frac{x^4}{64} 

Подставим остальные члены:
 x = x 
 - \frac{x y}{4} = - \frac{x}{4} \left(2 - \frac{x^2}{8}\right) = - \frac{x}{4} \cdot 2 + \frac{x}{4} \cdot \frac{x^2}{8} = - \frac{x}{2} + \frac{x^3}{32} 

 \frac{x}{4} \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{4} \left(2 + \frac{x^2}{8}\right) = \frac{x}{2} + \frac{x^3}{32} 

Сложим:
 y \sqrt{x^2 + y^2} + x - \frac{x y}{4} + \frac{x}{4} \sqrt{x^2 + y^2} = \left(4 - \frac{x^4}{64}\right) + x + \left(- \frac{x}{2} + \frac{x^3}{32}\right) + \left(\frac{x}{2} + \frac{x^3}{32}\right) 

Складываем члены с  x :
 x - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x 

Складываем члены с  x^3 :
 \frac{x^3}{32} + \frac{x^3}{32} = \frac{x^3}{16} 

Итого:
 4 - \frac{x^4}{64} + x + \frac{x^3}{16} 

Шаг 5. Интегрируем по  x  от 4 до 0

 A = \int_4^0 \left(4 + x + \frac{x^3}{16} - \frac{x^4}{64}\right) dx = - \int_0^4 \left(4 + x + \frac{x^3}{16} - \frac{x^4}{64}\right) dx 

Интегрируем:
 \int \left(4 + x + \frac{x^3}{16} - \frac{x^4}{64}\right) dx = 4x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{64} - \frac{x^5}{320} + C 

Подставляем пределы:
 A = - \left[ \left(4 \cdot 4 + \frac{4^2}{2} + \frac{4^4}{64} - \frac{4^5}{320}\right) - \left(0\right) \right] 

Вычислим:
 4 \cdot 4 = 16 
 \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 
 \frac{4^4}{64} = \frac{256}{64} = 4 
 \frac{4^5}{320} = \frac{1024}{320} = 3.2 

Сумма:
 16 + 8 + 4 - 3.2 = 24.8 

Итого:
 A = -24.8 

Ответ:

Работа силы при перемещении вдоль параболы от точки  M(4;0)  к точке  P(0;4)  равна
 \boxed{ -24.8 }  (единиц работы).