Найти работу силы f(x,y) по перемещению материальной точки вдоль участка кривой L

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ, вычисление криволинейного интеграла

Решение:

Работа силы \mathbf{F}(x,y) вдоль кривой L вычисляется с помощью криволинейного интеграла первого рода:

 A = \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} 

Задана сила:

 \mathbf{F}(x,y) = x\mathbf{i} + 3y^2\mathbf{j} 

Кривая L параметризована:

 x = \cos 2t, \quad y = \sin t, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} 

Дифференциал радиус-вектора:

 d\mathbf{r} = \frac{dx}{dt} dt \mathbf{i} + \frac{dy}{dt} dt \mathbf{j} 

Находим производные:

 \frac{dx}{dt} = -2\sin 2t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t 

Следовательно:

 d\mathbf{r} = (-2\sin 2t dt) \mathbf{i} + (\cos t dt) \mathbf{j} 

Теперь вычисляем скалярное произведение \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}:

 (x\mathbf{i} + 3y^2\mathbf{j}) \cdot (-2\sin 2t dt \mathbf{i} + \cos t dt \mathbf{j}) 

Подставляем x и y:

 (\cos 2t \mathbf{i} + 3\sin^2 t \mathbf{j}) \cdot (-2\sin 2t dt \mathbf{i} + \cos t dt \mathbf{j}) 

Вычисляем скалярное произведение:

 A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos 2t (-2\sin 2t) + 3\sin^2 t \cos t \right) dt 

Рассчитаем интегралы по отдельности:

1. \int_0^{\frac{\pi}{2}} -2 \cos 2t \sin 2t dt
   Используем подстановку u = \sin 2t, тогда du = 2\cos 2t dt, получаем:

    \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\sin 4t dt = \frac{1}{4} \cos 4t \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} 

   Подставляем пределы:

    \frac{1}{4} (\cos 2\pi - \cos 0) = \frac{1}{4} (1 - 1) = 0 

2. \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\sin^2 t \cos t dt
   Используем подстановку v = \sin t, тогда dv = \cos t dt, получаем:

    \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3v^2 dv = v^3 \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} 

   Подставляем пределы:

    \frac{3}{3} (\sin^3 \frac{\pi}{2} - \sin^3 0) = 1(1 - 0) = 1 

Суммируем результаты:

 A = 0 + 1 = 1 

Ответ:

Работа силы A = 1.