Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность области

Предмет: Векторный анализ (математический анализ)
Раздел: Поток векторного поля через поверхность

Задача:

Найти поток векторного поля \mathbf{A} = xz\mathbf{i} - \mathbf{j} + yk через замкнутую поверхность области, ограниченной следующими поверхностями:

1. y = x^2,
2. y = \frac{x^2}{4},
3. z = y,
4. z = 0 (при x \geq 0),
5. y = 1.

Нормаль направлена внутрь фигуры.

Решение:

Для вычисления потока через замкнутую поверхность воспользуемся теоремой Гаусса–Остроградского, которая гласит:

 \iint\limits_{\partial V} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV, 

где:

• \partial V — замкнутая поверхность области V,
• \mathbf{A} — заданное векторное поле,
• \mathbf{n} — единичная нормаль к поверхности,
• \nabla \cdot \mathbf{A} — дивергенция векторного поля,
• dV — элемент объема.

Таким образом, вместо вычисления потока через поверхность, мы будем находить интеграл от дивергенции векторного поля по объему V.

1. Вычислим дивергенцию векторного поля \mathbf{A}:

Векторное поле задано как:
\mathbf{A} = xz\mathbf{i} - \mathbf{j} + y\mathbf{k}.

Дивергенция векторного поля определяется формулой:
\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z},
где:

• A_x = xz,
• A_y = -1,
• A_z = y.

Выполним поочередно частные производные:

1. \frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial (xz)}{\partial x} = z,
2. \frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial (-1)}{\partial y} = 0,
3. \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial y}{\partial z} = 0.

Следовательно,
\nabla \cdot \mathbf{A} = z + 0 + 0 = z.

2. Определим объем V:

Объем V ограничен следующими условиями:

• y изменяется от \frac{x^2}{4} до x^2,
• z изменяется от 0 до y,
• x изменяется от 0 до 1 (так как y \leq 1, а y = x^2 при x = 1).

3. Запишем тройной интеграл:

Подставляем найденную дивергенцию в интеграл по объему:
 \iiint\limits_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV = \iiint\limits_V z \, dV. 

В объемных координатах dV = dx \, dy \, dz, и пределы интегрирования:
 \int\limits_{x=0}^1 \int\limits_{y=\frac{x^2}{4}}^{x^2} \int\limits_{z=0}^y z \, dz \, dy \, dx. 

4. Вычислим тройной интеграл:

Интегрирование по z:

 \int\limits_{z=0}^y z \, dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{y^2}{2}. 

Подставляем результат:
 \int\limits_{x=0}^1 \int\limits_{y=\frac{x^2}{4}}^{x^2} \frac{y^2}{2} \, dy \, dx. 

Интегрирование по y:

 \int\limits_{y=\frac{x^2}{4}}^{x^2} \frac{y^2}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int\limits_{y=\frac{x^2}{4}}^{x^2} y^2 \, dy = \frac{1}{2} \left[\frac{y^3}{3}\right]_{\frac{x^2}{4}}^{x^2}. 

Вычислим:
 \frac{1}{2} \left[\frac{(x^2)^3}{3} - \frac{\left(\frac{x^2}{4}\right)^3}{3}\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{x^6}{3} - \frac{\frac{x^6}{64}}{3}\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{x^6}{3} - \frac{x^6}{192}\right]. 

Приводим к общему знаменателю:
 \frac{1}{2} \left[\frac{64x^6}{192} - \frac{x^6}{192}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{63x^6}{192} = \frac{63x^6}{384}. 

Подставляем результат:
 \int\limits_{x=0}^1 \frac{63x^6}{384} \, dx. 

Интегрирование по x:

 \int\limits_{x=0}^1 \frac{63x^6}{384} \, dx = \frac{63}{384} \int\limits_{x=0}^1 x^6 \, dx = \frac{63}{384} \left[\frac{x^7}{7}\right]_0^1 = \frac{63}{384} \cdot \frac{1}{7} = \frac{63}{2688}. 

Сокращаем дробь:
 \frac{63}{2688} = \frac{21}{896}. 

Ответ:

Поток векторного поля через поверхность равен:
\frac{21}{896}.