Найти градиент скалярного произведения векторов A и B

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ

Дано два вектора в пространстве:
A = 1x \mathbf{i} + 2y \mathbf{j} + 3z \mathbf{k}
B = 3x \mathbf{i} + 1y \mathbf{j} + 2z \mathbf{k}

(в условии немного неясно, но предположим, что компоненты векторов заданы как функции координат:
A = x \mathbf{i} + 2y \mathbf{j} + 3z \mathbf{k}
B = 3x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + 2z \mathbf{k})

Нужно найти градиент скалярного произведения векторов A и B.

Шаг 1: Найдём скалярное произведение (A \cdot B)

 A \cdot B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = x \cdot 3x + 2y \cdot y + 3z \cdot 2z = 3x^2 + 2y^2 + 6z^2 

Шаг 2: Найдём градиент скалярного произведения

Градиент скалярной функции f(x,y,z) определяется как вектор частных производных:

 \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) 

В нашем случае:

 f = 3x^2 + 2y^2 + 6z^2 

Поэтому:

 \frac{\partial f}{\partial x} = 6x 

 \frac{\partial f}{\partial y} = 4y 

 \frac{\partial f}{\partial z} = 12z 

Ответ:

Градиент скалярного произведения векторов A и B равен:

 \nabla (A \cdot B) = 6x \mathbf{i} + 4y \mathbf{j} + 12z \mathbf{k}