Найти градиент функции в заданной точке

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ (Градиент функции)

Градиент функции — это вектор, составленный из частных производных функции по её аргументам. Он показывает направление наибольшего возрастания функции.

В примере 6 даны две функции:
а) u = x^2 y - 5xy^2 - x + y - 1, точка P(3; -2);
б) z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}, точка M(2; -1).

Решение:

а) Найдём градиент функции u(x, y):

Градиент определяется как вектор:
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right)

Найдём частные производные:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy - 5y^2 - 1
\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 - 10xy + 1

Вычислим градиент в точке P(3; -2):
\frac{\partial u}{\partial x} \Big|_{(3, -2)} = 2(3)(-2) - 5(-2)^2 - 1 = -12 - 20 - 1 = -33
\frac{\partial u}{\partial y} \Big|_{(3, -2)} = 3^2 - 10(3)(-2) + 1 = 9 + 60 + 1 = 70

Градиент:
\nabla u (3, -2) = (-33, 70)

б) Найдём градиент функции z(x, y):

Градиент:
\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)

Частные производные:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}

Вычислим в точке M(2; -1):
\frac{\partial z}{\partial x} \Big|_{(2, -1)} = \frac{-2}{\sqrt{9 - 2^2 - (-1)^2}} = \frac{-2}{\sqrt{9 - 4 - 1}} = \frac{-2}{\sqrt{4}} = \frac{-2}{2} = -1

\frac{\partial z}{\partial y} \Big|_{(2, -1)} = \frac{-(-1)}{\sqrt{9 - 4 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

Градиент:
\nabla z (2, -1) = (-1, 0.5)

Ответ:

а) \nabla u (3, -2) = (-33, 70)
б) \nabla z (2, -1) = (-1, 0.5)