Найти градиент функции в заданной точке

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ (Градиент функции)

Градиент функции — это вектор, составленный из частных производных функции по её аргументам. Он показывает направление наибольшего возрастания функции.

В примере 6 даны две функции:
а) $u=x^{2}y-5x{y}^2-x+y-1$, точка $P(3;-2)$;
б) $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$, точка $M(2;-1)$.

Решение:

а) Найдём градиент функции $u(x,y)$:

Градиент определяется как вектор:
$\mathrm{\nabla }u=(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y})$

Найдём частные производные:
$\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=2xy-5y^2-1$
$\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=x^2-10xy+1$

Вычислим градиент в точке $P(3;-2)$:
$\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}{|}_{(3,-2)}=2(3)(-2)-5(-2{)}^2-1=-12-20-1=-33$
$\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}{|}_{(3,-2)}=3^2-10(3)(-2)+1=9+60+1=70$

Градиент:
$\mathrm{\nabla }u(3,-2)=(-33,70)$

б) Найдём градиент функции $z(x,y)$:

Градиент:
$\mathrm{\nabla }z=(\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y})$

Частные производные:
$\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$
$\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=\frac{-y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$

Вычислим в точке $M(2;-1)$:
$\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}{|}_{(2,-1)}=\frac{-2}{\sqrt{9-2^2-(-1{)}^2}}=\frac{-2}{\sqrt{9-4-1}}=\frac{-2}{\sqrt{4}}=\frac{-2}{2}=-1$

$\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}{|}_{(2,-1)}=\frac{-(-1)}{\sqrt{9-4-1}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$

Градиент:
$\mathrm{\nabla }z(2,-1)=(-1,0.5)$

Ответ:

а) $\mathrm{\nabla }u(3,-2)=(-33,70)$
б) $\mathrm{\nabla }z(2,-1)=(-1,0.5)$