Найти дивергенцию и ротор векторного поля

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ (дифференциальное исчисление векторов)

Дано векторное поле
\mathbf{A} = \langle xy - y, \; xz + 1, \; yz \rangle.

Нужно найти дивергенцию (div) и ротор (rot) векторного поля \mathbf{A}.

Шаг 1. Найдём дивергенцию \mathbf{A}:

Формула дивергенции для векторного поля \mathbf{A} = \langle A_x, A_y, A_z \rangle:

\operatorname{div} \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.

Компоненты поля:

A_x = xy - y, \quad A_y = xz + 1, \quad A_z = yz.

Вычислим частные производные:

 \frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy - y) = y, \ \frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xz + 1) = 0, \ \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(yz) = y. 

Складываем:

 \operatorname{div} \mathbf{A} = y + 0 + y = 2y. 

Шаг 2. Найдём ротор \mathbf{A}:

Формула ротора для векторного поля \mathbf{A} = \langle A_x, A_y, A_z \rangle:

 \operatorname{rot} \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \left\langle \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \quad \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \quad \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right\rangle. 

Вычислим каждую компоненту:

1. \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}:

 \frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z, \ \frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xz + 1) = x, \ \Rightarrow z - x. 

2. \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}:

 \frac{\partial A_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xy - y) = 0, \ \frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(yz) = 0, \ \Rightarrow 0 - 0 = 0. 

3. \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}:

 \frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xz + 1) = z, \ \frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy - y) = x - 1, \ \Rightarrow z - (x - 1) = z - x + 1. 

Ответ:

 \boxed{ \begin{cases} \operatorname{div} \mathbf{A} = 2y, \ \operatorname{rot} \mathbf{A} = \langle z - x, \; 0, \; z - x + 1 \rangle. \end{cases} }