Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить третье задание
Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ / Многомерные интегралы / Центр тяжести тела
Задание 3:
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:
Таким образом, тело — это часть сферической оболочки между сферами радиусов 1 и 2, лежащая выше плоскости z = 0. То есть это верхняя половина сферической оболочки между радиусами 1 и 2.
Сферические координаты: \begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \ y = r \sin\theta \sin\phi \ z = r \cos\theta \end{cases}
Где:
Якобиан перехода к сферическим координатам: J = r^2 \sin\theta
Для однородного тела плотность \rho = \text{const}, поэтому координаты центра тяжести вычисляются как:
\bar{x} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} z \, dV
Поскольку тело симметрично относительно осей x и y, то:
\bar{x} = \bar{y} = 0
Осталось найти \bar{z}.
V = \iiint\limits_{T} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
Вычислим по порядку:
Интеграл по r: \int_1^2 r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}
Интеграл по \theta: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = [-\cos\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1
Интеграл по \phi: \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi
Итак, объем: V = 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = \frac{14\pi}{3}
\bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} z \, dV = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} r \cos\theta \cdot r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
= \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
Интеграл по r: \int_1^2 r^3 \, dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}
Интеграл по \theta: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2}
Интеграл по \phi: \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi
Теперь собираем:
\bar{z} = \frac{1}{\frac{14\pi}{3}} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{3}{14\pi} \cdot 2\pi \cdot \frac{15}{8} = \frac{3}{14\pi} \cdot \frac{30\pi}{8} = \frac{90}{112} = \frac{45}{56}
\bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 0, \quad \bar{z} = \frac{45}{56}
Центр тяжести тела:
\boxed{\left(0, 0, \frac{45}{56}\right)}