Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ / Многомерные интегралы / Центр тяжести тела

Задание 3:
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:

• S_1: x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 — это шар радиуса 2,
• S_2: x^2 + y^2 + z^2 \geq 1 — это внутренность вне шара радиуса 1,
• S_3: z = 0 — ограничение тела снизу плоскостью z = 0.

Таким образом, тело — это часть сферической оболочки между сферами радиусов 1 и 2, лежащая выше плоскости z = 0. То есть это верхняя половина сферической оболочки между радиусами 1 и 2.

Шаг 1: Переход к сферическим координатам

Сферические координаты:  \begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \ y = r \sin\theta \sin\phi \ z = r \cos\theta \end{cases} 

Где:

• r \in [1, 2] — радиус между двух сфер,
• \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] — угол от оси z, только верхняя полусфера,
• \phi \in [0, 2\pi] — угол в плоскости xy.

Якобиан перехода к сферическим координатам: J = r^2 \sin\theta

Шаг 2: Центр тяжести

Для однородного тела плотность \rho = \text{const}, поэтому координаты центра тяжести вычисляются как:

 \bar{x} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} z \, dV 

Поскольку тело симметрично относительно осей x и y, то:

\bar{x} = \bar{y} = 0

Осталось найти \bar{z}.

Шаг 3: Вычисление объема тела

 V = \iiint\limits_{T} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi 

Вычислим по порядку:

1. Интеграл по r:  \int_1^2 r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3} 

2. Интеграл по \theta:  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = [-\cos\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 

3. Интеграл по \phi:  \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi 

Итак, объем:  V = 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = \frac{14\pi}{3} 

Шаг 4: Найдём \bar{z}

 \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} z \, dV = \frac{1}{V} \iiint\limits_{T} r \cos\theta \cdot r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi 

 = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi 

1. Интеграл по r:  \int_1^2 r^3 \, dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4} 

2. Интеграл по \theta:  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2} 

3. Интеграл по \phi:  \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi 

Теперь собираем:

 \bar{z} = \frac{1}{\frac{14\pi}{3}} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{3}{14\pi} \cdot 2\pi \cdot \frac{15}{8} = \frac{3}{14\pi} \cdot \frac{30\pi}{8} = \frac{90}{112} = \frac{45}{56} 

Ответ:

\bar{x} = 0, \quad \bar{y} = 0, \quad \bar{z} = \frac{45}{56}

Центр тяжести тела:
\boxed{\left(0, 0, \frac{45}{56}\right)}