Найдите координаты вектора grad u в точке A(−1, 3, 2)

Предмет: Математика

Раздел: Векторный анализ

Дана функция:
u = 2 \arctan(xy + z^2).

Необходимо:
а) Найти координаты градиента \nabla u в точке A(-1, 3, 2).
б) Найти производную \frac{\partial u}{\partial a} в точке A в направлении вектора \mathbf{a}(2, -6, -3).

Решение:

Часть (а): Градиент функции

Градиент функции u(x, y, z) определяется как вектор частных производных:
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right).

Функция:
u = 2 \arctan(xy + z^2).

Найдем частные производные:

1. По переменной x:
   \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy + z^2) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot y.

2. По переменной y:
   \frac{\partial u}{\partial y} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy + z^2) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot x.

3. По переменной z:
   \frac{\partial u}{\partial z} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial z}(xy + z^2) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (xy + z^2)^2} \cdot 2z.

Подставим координаты точки A(-1, 3, 2):

1. Вычислим xy + z^2 в точке A:
   xy + z^2 = (-1)(3) + 2^2 = -3 + 4 = 1.

2. Найдем знаменатель 1 + (xy + z^2)^2:
   1 + (xy + z^2)^2 = 1 + 1^2 = 2.

Теперь вычислим:

• \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 = 3;
• \frac{\partial u}{\partial y} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = -1;
• \frac{\partial u}{\partial z} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 4.

Координаты градиента:
\nabla u = (3, -1, 4).

Часть (б): Производная в направлении вектора

Производная функции u в направлении вектора \mathbf{a} определяется как:
\frac{\partial u}{\partial a} = \nabla u \cdot \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|},
где \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} — единичный вектор направления.

1. Вектор \mathbf{a} = (2, -6, -3). Его длина:
   |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7.

Единичный вектор:
\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left(\frac{2}{7}, \frac{-6}{7}, \frac{-3}{7}\right).

2. Скалярное произведение \nabla u \cdot \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}:
   \nabla u = (3, -1, 4),
   \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left(\frac{2}{7}, \frac{-6}{7}, \frac{-3}{7}\right).

\nabla u \cdot \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = 3 \cdot \frac{2}{7} + (-1) \cdot \frac{-6}{7} + 4 \cdot \frac{-3}{7} = \frac{6}{7} + \frac{6}{7} - \frac{12}{7} = \frac{0}{7} = 0.

Ответ:
а) \nabla u = (3, -1, 4).
б) \frac{\partial u}{\partial a} = 0.