Запишите канонический вид уравнения эллиптического типа для функции двух переменных

Определение предмета:

Данное задание относится к математике, а именно к разделу дифференциальных уравнений в частных производных.

Раздел предмета:

Это задача по теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Решение:

Эллиптические уравнения второго порядка являются классом дифференциальных уравнений, которые можно записать в общем виде: \[ A(u_{xx}) + 2B(u_{xy}) + C(u_{yy}) + D(u_{x}) + E(u_{y}) + F(u) = G(x, y), \] где \( u(x, y) \) – функция двух переменных \( x \) и \( y \); \( u_{x} \) и \( u_{y} \) обозначают первые производные по \( x \) и \( y \); \( u_{xx}, u_{yy} \) и \( u_{xy} \) обозначают вторые производные; \( A, B, C, D, E, F \) – коэффициенты, которые могут быть функциями \( x \) и \( y \) или константами; \( G(x, y) \) – известная функция правой части уравнения.

Для эллиптических уравнений необходимо, чтобы дискриминант \( B^2 - AC \) был меньше нуля \( B^2 - AC < 0 \). Примером канонического вида такого уравнения является уравнение Лапласа: \[ u_{xx} + u_{yy} = 0. \]

Давайте рассмотрим канонический вид для него по этапам:

1. Определение коэффициентов: В уравнении Лапласа \( A = 1 \), \( B = 0 \), \( C = 1 \), остальные коэффициенты \( D, E, F = 0 \).
2. Проверка выполнения условия эллиптичности: Вычислим дискриминант: \[ B^2 - AC = 0^2 - (1)(1) = -1. \] Дискриминант меньше нуля \( -1 < 0 \), следовательно, уравнение эллиптическое.
3. Запись уравнения в каноническом виде: Так как все остальные коэффициенты равны нулю, уравнение запишется как: \[ u_{xx} + u_{yy} = 0. \] Вот таков канонический вид для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка.