Запиши уравнение Пуассона

Конечно, я готов помочь. Давайте разберем ваш запрос по частям.

Предмет и Раздел

Запрос на запись уравнения Пуассона указывает на предмет "Физика" или "Математика", и конкретный раздел — это "Дифференциальные уравнения". Уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа и часто используется в потенциальной теории, электростатике, гравитации и теплопроводности.

Запись уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона — это частное дифференциальное уравнение вида: $\text{(}\mathrm{\Delta }u=f,\text{)}$ где $\text{(}\mathrm{\Delta }\text{)}$ (дельта) представляет собой оператор Лапласа, $\text{(}u\text{)}$ — искомая функция, а $\text{(}f\text{)}$ — заданная функция.

В трёхмерном случае оператор Лапласа для функции $\text{(}u(x,y,z)\text{)}$ определяется как: $\text{(}\mathrm{\Delta }u=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}.\text{)}$

Таким образом, уравнение Пуассона в трёхмерном пространстве можно записать следующим образом: $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=f(x,y,z).\text{)}$

Объяснение каждого действия

1. Определение оператора Лапласа: Сначала мы обозначили, что оператор Лапласа $\text{(}\mathrm{\Delta }\text{)}$ по определению принимает функцию и возвращает сумму вторых частных производных этой функции по всем независимым переменным (в нашем случае по x, y и z).
2. Запись уравнения: Мы записали уравнение Пуассона, которое показывает, что сумма этих вторых частных производных равна некоторой заданной функции $\text{(}f\text{)}$. Таким образом, запись уравнения Пуассона в общем виде — это $\text{(}\mathrm{\Delta }u=f\text{)}$ или в трёхмерных координатах $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=f(x,y,z).\text{)}$ Это уравнение часто встречается в задачах по электростатике (где $\text{(}f\text{)}$ может представлять плотность заряда) или гравитации (где $\text{(}f\text{)}$ представляет плотность массы). Если у вас есть конкретное задание или задача, связанная с уравнением Пуассона, пожалуйста, предоставьте дополнительные детали, и я помогу решить её пошагово.