Запиши уравнение Пуассона

Конечно, я готов помочь. Давайте разберем ваш запрос по частям.

Предмет и Раздел

Запрос на запись уравнения Пуассона указывает на предмет "Физика" или "Математика", и конкретный раздел — это "Дифференциальные уравнения". Уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа и часто используется в потенциальной теории, электростатике, гравитации и теплопроводности.

Запись уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона — это частное дифференциальное уравнение вида: \( \Delta u = f, \) где \( \Delta \) (дельта) представляет собой оператор Лапласа, \( u \) — искомая функция, а \( f \) — заданная функция.

В трёхмерном случае оператор Лапласа для функции \( u(x, y, z) \) определяется как: \( \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. \)

Таким образом, уравнение Пуассона в трёхмерном пространстве можно записать следующим образом: \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z). \)

Объяснение каждого действия

1. Определение оператора Лапласа: Сначала мы обозначили, что оператор Лапласа \( \Delta \) по определению принимает функцию и возвращает сумму вторых частных производных этой функции по всем независимым переменным (в нашем случае по x, y и z).
2. Запись уравнения: Мы записали уравнение Пуассона, которое показывает, что сумма этих вторых частных производных равна некоторой заданной функции \( f \). Таким образом, запись уравнения Пуассона в общем виде — это \( \Delta u = f \) или в трёхмерных координатах \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = f(x, y, z). \) Это уравнение часто встречается в задачах по электростатике (где \( f \) может представлять плотность заряда) или гравитации (где \( f \) представляет плотность массы). Если у вас есть конкретное задание или задача, связанная с уравнением Пуассона, пожалуйста, предоставьте дополнительные детали, и я помогу решить её пошагово.