Задачи с краевыми условиями для уравнения теплопроводности

Данное задание относится к предмету математический анализ или смежным дисциплинам, таким как дифференциальные уравнения и видимо к разделу уравнения математической физики, так как в нем необходимо решить уравнение теплопроводности.

Уравнение теплопроводности (или уравнение диффузии) имеет вид: \[ u_t = 2 u_{xx}, \], где \( u(x,t) \) — искомая функция, которая зависит от \(x\) (пространственная переменная) и \(t\) (время).

Начальные и граничные условия заданы следующим образом:

• Начальное условие: \( u(x, 0) = 16 \sin(3\pi x) + 9 \sin(4\pi x) \),
• Граничные условия: \( u(0,t) = 0 \) и \( u(8,t) = 0 \).

Этапы решения:

1. Применение метода разделения переменных

Метод разделения переменных предполагает, что решение можно представить в виде произведения функции, зависящей только от \(x\), и функции, зависящей только от \(t\):

\[ u(x, t) = X(x)T(t). \]

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

\[ (X(x) T(t))_t = 2 (X(x) T(t))_{xx}. \]

Делая производные, получаем:

\[ X(x) T'(t) = 2 X''(x) T(t). \]

Теперь разделим переменные, для этого обе части уравнения разделим на \(X(x)T(t)\):

\[ \frac{T'(t)}{T(t)} = 2 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda, \]

где \(\lambda\) — некоторая постоянная, которая появляется при разделении переменных.

Таким образом, мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения:

1. Для \(T(t)\): \[ T'(t) + \lambda T(t) = 0, \]
2. Для \(X(x)\): \[ X''(x) + \frac{\lambda}{2} X(x) = 0. \]

2. Решение уравнения для \[ X(x) \]

Учитывая, что у нас есть граничные условия \(X(0) = 0\) и \(X(8) = 0\), решение для \(X(x)\) должно иметь вид синусоидальной функции. Предположим, что \(\frac{\lambda}{2} = \mu^2\), тогда уравнение принимает вид:

\[ X''(x) + \mu^2 X(x) = 0. \]

Решение этого уравнения имеет вид:

\[ X(x) = A \sin(\mu x), \]

и граничные условия определяют значения \(\mu\):

\[ X(0) = A \sin(0) = 0, \]

\[ X(8) = A \sin(8\mu) = 0. \]

Для выполнения второго условия \(\sin(8\mu) = 0\), следовательно, \(\mu = \frac{n\pi}{8}\), где \n — целое число.

Таким образом, общее решение для \[ X(x) \] имеет вид:

\[ X_n(x) = A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{8}\right). \]

3. Решение уравнения для \(T(t)\)

Теперь решим уравнение для \[ T(t) \]:

\[ T'(t) + \lambda_n T(t) = 0. \]

Здесь \(\lambda_n = 2\mu^2 = 2\left(\frac{n\pi}{8}\right)^2 = \frac{n^2 \pi^2}{32}\). Решением этого уравнения является экспоненциальная функция:

\[ T_n(t) = B_n e^{-\lambda_n t} = B_n e^{-\frac{n^2 \pi^2}{32} t}. \]

4. Общее решение

Таким образом, общее решение уравнения теплопроводности записывается в виде:

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left( \frac{n\pi x}{8} \right) e^{-\frac{n^2 \pi^2}{32} t}. \]

5. Определение коэффициентов \(C_n\)

Для нахождения коэффициентов \[C_n\], нам нужно воспользоваться начальными условиями. Согласно условиям,

\[ u(x, 0) = 16 \sin(3\pi x) + 9 \sin(4\pi x). \]

Подставим это в общее решение при \(t = 0\):

\[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left( \frac{n\pi x}{8} \right) = 16 \sin(3\pi x) + 9 \sin(4\pi x). \]

Это показывает, что \[C_n\] ненулевы только для \[n = 24\] и \[n = 32\] (поскольку \[3\pi = \frac{24\pi}{8}\] и \[4\pi = \frac{32\pi}{8}\]). Тогда:

\[ C_{24} = 16, \quad C_{32} = 9. \]

Ответ: Окончательное решение задачи выглядит так: