Задача Коши для уравнения теплопроводности

Предмет: Математический анализ

Раздел: Уравнения математической физики (уравнение теплопроводности)

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Дано уравнение теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad -\infty < x < \infty, \quad t > 0 

с начальными условиями:

 u(x,0) = \varphi(x), 

где

 \varphi(x) = \begin{cases} 1 + x, & -1 \leq x < 0, \ 1 - x, & 0 \leq x < 1, \ 0, & x \leq -1, \quad x \geq 1. \end{cases} 

Решение

Общее решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием ( u(x,0) = \varphi(x) ) можно выразить через свертку функции Грина теплопроводности:

 u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x-\xi,t) \varphi(\xi) d\xi, 

где функция Грина (фундаментальное решение уравнения теплопроводности) имеет вид:

 G(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi a^2 t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4a^2 t}\right). 

Подставляем:

 u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi a^2 t}} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi) \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right) d\xi. 

Разбиваем интеграл на три области, соответствующие заданной функции ( \varphi(x) ):

1. Для ( -1 \leq \xi < 0 ):
    \varphi(\xi) = 1 + \xi 

2. Для ( 0 \leq \xi < 1 ):
    \varphi(\xi) = 1 - \xi 

3. Для ( \xi \leq -1 ) и ( \xi \geq 1 ):
    \varphi(\xi) = 0 

Таким образом, интеграл сводится к:

 u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi a^2 t}} \left[ \int_{-1}^{0} (1+\xi) e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}} d\xi + \int_{0}^{1} (1-\xi) e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}} d\xi \right]. 

Этот интеграл можно вычислить аналитически или численно, используя стандартные методы интегрирования функций Гаусса.

Таким образом, найдено представление решения через свертку с функцией Грина, что является классическим методом решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.