Вычисление потока векторного поля через поверхность цилиндра вырезанную плоскостями с внешней нормалью

Предмет: Математика (высшая математика)

Раздел: Векторный анализ, вычисление потока векторного поля

Постановка задачи:

Задача заключается в вычислении потока векторного поля \( \vec{a} = (x + 2y)\hat{i} + (2x - y)\hat{j} + z\hat{k} \) через поверхность цилиндра \( x^2 + y^2 = 1 \), вырезанную плоскостями \( z = 0 \) и \( z = 2 \) с внешней нормалью.

Описание плана решения:

1. Определение интеграла потока: Поток векторного поля через поверхность \( S \) вычисляется как: \[ \Phi = \iint_S \vec{a} \cdot \vec{n} \, dS \] где \( dS \) — это элемент площади поверхности, \( \vec{n} \) — вектор нормали к поверхности.
2. Поверхность: У нас цилиндр \( x^2 + y^2 = 1 \), который пересечён поверхностями \( z = 0 \) и \( z = 2 \). Следовательно, задача включает три части:
   • Нижняя плоскость \( z = 0 \),
   • Верхняя плоскость \( z = 2 \),
   • Боковая поверхность цилиндра.
3. Вычисление вклада для каждой поверхности:

1. Поток через нижнюю плоскость \( z = 0 \):

Уравнение плоскости: \( z = 0 \). Поверхность — круг с радиусом 1. Нормаль направлена по оси \( z \) вниз, следовательно, \( \vec{n} = (0, 0, -1) \). Элемент площади: \( dS = dx\,dy \).

Поток через нижнюю плоскость: \[ \Phi_{\text{ниж}} = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} \vec{a} \cdot (0, 0, -1) \, dx\,dy \] \[ \vec{a} \cdot (0, 0, -1) = -z = 0 \quad \text{(так как \( z = 0 \))} \]

Следовательно, \( \Phi_{\text{ниж}} = 0 \).

2. Поток через верхнюю плоскость \( z = 2 \):

Уравнение плоскости: \( z = 2 \). Нормаль направлена по оси \( z \) вверх: \( \vec{n} = (0, 0, 1) \). Поток через верхнюю плоскость: \[ \Phi_{\text{верх}} = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} \vec{a} \cdot (0, 0, 1) \, dx\,dy \] \[ \vec{a} \cdot (0, 0, 1) = z = 2 \quad \text{(так как \( z = 2 \))} \]

Поток равен: \[ \Phi_{\text{верх}} = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} 2 \, dx\,dy \] Это площадь круга радиуса 1: \[ \Phi_{\text{верх}} = 2 \times \pi \times 1^2 = 2\pi \]

3. Поток через боковую поверхность цилиндра:

Уравнение боковой поверхности: \( x^2 + y^2 = 1 \). Нормаль к поверхности направлена радиально наружу: \( \vec{n} = (x, y, 0) \) (внешняя нормаль). Элемент площади для боковой поверхности: \( dS = dz\,d\varphi \), где \( \varphi \) — угол в полярной системе координат.

Поток через боковую поверхность: \[ \Phi_{\text{бок}} = \iint_{S_{\text{бок}}} \vec{a} \cdot \vec{n} \, dS \] Выражение для векторного поля: \[ \vec{a} \cdot \vec{n} = (x + 2y)x + (2x - y)y = x^2 + 2xy + 2xy - y^2 = x^2 - y^2 + 4xy \]

Переходим к полярным координатам. Так как \( x = \cos\varphi \), \( y = \sin\varphi \), имеем: \[ x^2 - y^2 = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi = \cos(2\varphi) \] \[ 4xy = 4\cos\varphi\sin\varphi = 2\sin(2\varphi) \]

Таким образом: \[ \vec{a} \cdot \vec{n} = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) \] Элемент площади: \( dS = dz\,d\varphi \). Интеграл: \[ \Phi_{\text{бок}} = \int_0^{2\pi} \int_0^2 [\cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi)] dz\,d\varphi \] \[ = \int_0^{2\pi} [2\cos(2\varphi) + 4\sin(2\varphi)] d\varphi \] Интегрируем: \[ \int_0^{2\pi} \cos(2\varphi)\,d\varphi = 0, \quad \int_0^{2\pi} \sin(2\varphi)\,d\varphi = 0 \]

Следовательно, \( \Phi_{\text{бок}} = 0 \).

4. Общий поток:

\[ \Phi = \Phi_{\text{ниж}} + \Phi_{\text{верх}} + \Phi_{\text{бок}} = 0 + 2\pi + 0 = 2\pi \]

Ответ:

Поток через поверхность цилиндра равен \( 2\pi \).