Волновые уравнения с граничными условиями

Это задача по предмету "Математика", конкретно по разделу "Дифференциальные уравнения" или "Физика", в зависимости от контекста задачи. В данном случае мы имеем дело с волновым уравнением с граничными условиями. Рассмотрим данное волновое уравнение:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3e^{-2t} \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right), \] \[ 0 < x < \pi, \; t > 0, \; A = const. \]

С граничными и начальными условиями:

\[ u|_{x=0} = 0, \; \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{x=l} = 0, \; t \ge 0, \] \[ u|_{t=0} = 0, \; \frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0} = 0, \; 0 \le x \le \pi. \]

Мы будем решать эту задачу методом разделения переменных и преобразование Фурье.

Шаг 1: Решим однородную часть уравнения

Для однородной части уравнения без правой части:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \]

предположим, что решение имеет вид

\( u(x,t) = X(x)T(t) \).

Разлагаем уравнение:

\[ X(x) \frac{d^2 T}{d t^2} = T(t) \frac{d^2 X}{d x^2}.\]

Разделяем переменные:

\[ \frac{1}{T}\frac{d^2 T}{d t^2} = \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{d x^2} = -\lambda, \]

где

\(\lambda\) -- некоторая постоянная.

Шаг 2: Решим уравнения для

\(X(x)\)

и

\(T(t)\)

Для функции

\(X(x)\)

имеем:

\[ \frac{d^2 X}{d x^2} + \lambda X = 0. \]

Решим это уравнение с граничными условиями:

\[ X(0) = 0, \; \frac{dX}{dx}\bigg|_{x=l} = 0. \]

Общее решение имеет вид:

\[ X(x) = A \sin\left(\sqrt{\lambda} x\right) + B \cos\left(\sqrt{\lambda} x\right). \]

Из граничного условия

\(X(0) = 0\)

следует, что

\( B = 0 \).

Из условия

\(\frac{dX}{dx}\bigg|_{x=l} = 0\)

получаем:

\[ \sqrt{\lambda} A \cos\left(\sqrt{\lambda} l\right) = 0. \]

Поскольку

\( \sqrt{\lambda} \cos\left(\sqrt{\lambda} l\right) = 0,\)

то

\( \cos\left(\sqrt{\lambda} l\right) = 0.\)

Следовательно:

\[ \sqrt{\lambda} l = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi, \; n \in \mathbb{Z}. \]

Отсюда:

\[ \lambda = \left(\frac{(2n+1) \pi}{2l}\right)^2. \]

Подставим в уравнение для

\(T(t)\): \[ \frac{d^2 T}{d t^2} + \left(\frac{(2n+1)\pi}{2l}\right)^2 T = 0. \]

Решение имеет вид:

\[ T(t) = C \cos\left(\frac{(2n+1)\pi t}{2l}\right) + D \sin\left(\frac{(2n+1)\pi t}{2l}\right).\]

Шаг 3: Соберем общее решение

Полное решение будет:

\[ u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ C_n \cos\left(\frac{(2n+1)\pi t}{2l}\right) + D_n \sin\left(\frac{(2n+1)\pi t}{2l}\right) \right] \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2l}\right). \]

Шаг 4: Учитываем начальные условия

Используя начальные условия, определим коэффициенты

\(C_n\)

и

\(D_n\).

Начальное условие

\(u|_{t=0} = 0\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2l}\right) = 0. \]

Отсюда

\(C_n = 0.\)

Начальное условие

\(\frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0} = 0\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1) \pi}{2l} D_n \sin\left(\frac{(2n+1)\pi x}{2l}\right) = 0. \]

Отсюда следует

\(D_n = 0\).

Шаг 5: Правую часть добавим к решению

Поскольку начальные условия равны нулю, и

\(C_n\)

и

\(D_n\)

также равны нулю, ищем частное решение для неоднородной части:

\[ u_{part} (x,t). \]

Ищем в форме:

\[ u_{part} (x,t) = f(t) \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right). \]

Подстановка в уравнение:

\[ \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right) \frac{d^2 f}{d t^2} = \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right) \frac{\pi^2}{4l^2} f + 3e^{-2t} \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right). \]

Сократим

\(\sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right)\): \[ \frac{d^2 f}{d t^2} = \frac{\pi^2}{4l^2} f + 3e^{-2t}. \]

Ищем решение методом вариации постоянных. Пусть частное решение:

\[ f(t) = Ae^{-2t} + Be^{2t},\]

тогда

\[ \frac{d^2 f}{d t^2} = 4Ae^{-2t} + 4Be^{2t}. \]

Подставим в уравнение:

\[ 4Ae^{-2t} + 4Be^{2t} = \frac{\pi^2}{4l^2} (Ae^{-2t} + Be^{2t}) + 3e^{-2t}. \]

Решаем относительно постоянных:

\[ A = \frac{3}{4 - \frac{\pi^2}{4l^2}}, B = 0. \]

Таким образом, частное решение:

\[ f(t) = \frac{3}{4 - \frac{\pi^2}{4l^2}} e^{-2t}.\]

И общее решение:

\[ u(x,t) = \frac{3}{4 - \frac{\pi^2}{4l^2}} e^{-2t} \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right).\]

Ответ:

\[ u(x,t) = \frac{3}{4 - \frac{\pi^2}{4l^2}} e^{-2t} \sin\left(\frac{\pi x}{2l}\right).\]