Уравнение Лапласа в полярных координатах

Данная задача относится к курсу дифференциальных уравнений, а точнее - к разделу по уравнениям математической физики и теории потенциала.

Уравнение, представленное на изображении, является уравнением Лапласа в полярных координатах. Это уравнение можно записать следующим образом: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} = 0, \quad r > a, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi, \] с граничным условием: \[ \left. \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r=a} = A \cos \varphi, \quad A = \text{const}, \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi. \]

Для решения этого уравнения сначала нужно искать решение методом разделения переменных. Предположим, что общее решение можно представить в виде: \[ u(r, \varphi) = R(r)\Phi(\varphi). \]

Подставим данное выражение в уравнение Лапласа: \[ R''(r) \Phi(\varphi) + \frac{1}{r} R'(r) \Phi(\varphi) + \frac{1}{r^2} R(r) \Phi''(\varphi) = 0. \]

Разделим уравнение на \( R(r) \Phi(\varphi) \): \[ \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{1}{r} \frac{R'(r)}{R(r)} + \frac{1}{r^2} \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} = 0. \]

Теперь сгруппируем члены, зависящие от \( r \) и \( \varphi \), по отдельности: \[ r^2 \frac{R''(r)}{R(r)} + r \frac{R'(r)}{R(r)} + \frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} = 0. \]

Поскольку левая часть уравнения должна быть равна нулю для всех \( r \) и \( \varphi \), каждый из этих членов должен быть равен некоторой константе \( -\lambda \), чтобы уравнение в сумме давало ноль. Тогда получаем два отдельных уравнения: 1. Для функции \( \Phi(\varphi) \): \[ \Phi''(\varphi) + \lambda \Phi(\varphi) = 0. \] 2. Для функции \( R(r) \): \[ r^2 R''(r) + r R'(r) - \lambda R(r) = 0. \]

Рассмотрим сначала уравнение для \( \Phi(\varphi) \): \[ \Phi''(\varphi) + \lambda \Phi(\varphi) = 0. \]

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет решение, которое зависит от знака \( \lambda \). Для физически значимых решений будем рассматривать случаи: \[ \lambda = n^2, \quad n \in \mathbb{Z}. \] Это дает нам периодические решения вида: \[ \Phi(\varphi) = C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi). \]

Теперь решим уравнение для \( R(r) \): \[ r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0. \]

Это уравнение является уравнением Коши-Эйлера, которое имеет решение вида: \[ R(r) = A_n r^n + B_n r^{-n}, \quad n \neq 0. \] (Для \( n = 0 \) решение имеет вид \( R(r) = A_0 + B_0 \ln r \)). Теперь комбинируем наши решения: \[ u(r, \varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (A_n r^n + B_n r^{-n}) (C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)) \right). \]

Граничные условия даны в виде: \[ \left. \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r=a} = A \cos \varphi. \]

Возьмем производную и подставим \( r = a \): \[ \frac{\partial u}{\partial r} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( n(A_n r^{n-1} - B_n r^{-n-1}) (C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)) \right). \] При \( r = a \): \[ \left. \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r=a} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( n(A_n a^{n-1} - B_n a^{-n-1}) (C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)) \right) = A \cos \varphi. \]

Рассмотрим только нулевой гармонической член (поскольку в граничном условии \( \cos \varphi \)): \[ n = 1, \quad A_1a^{0}C_1 = A, \quad B_1 = 0, \quad D_1 = 0. \]

Таким образом: \[ A_1C_1 = A \Rightarrow C_1 = A. \]

И итоговое решение будет иметь вид: \[ u(r, \varphi) = A_1 r \cos \varphi = A r \cos \varphi. \]

Это решение удовлетворяет как граничным условиям, так и уравнению Лапласа для заданного диапазона \( r \) и \( \varphi \).