Уравнение колебания струны и его решение методом разделения переменных (метод Фурье)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, колебания и волны
Тема: Уравнение колебания струны и его решение методом разделения переменных (метод Фурье)

Дано краевое значение задачи для уравнения колебания струны с внешним воздействием:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + Ae^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right), 

с начальными и краевыми условиями:

 \begin{cases} u(x,0) = 0, \ \frac{\partial u(x,0)}{\partial t} = 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x, \ u(0,t) = 0, \quad u(\pi,t) = 0. \end{cases} 

Шаг 1: Представление общего решения

Общее решение состоит из суммы однородного решения и частного решения:

 u(x,t) = u_h(x,t) + u_p(x,t), 

где:

• u_h(x,t) — решение однородного уравнения (без правой части),
• u_p(x,t) — частное решение неоднородного уравнения.

1. Однородное уравнение

Рассмотрим сначала однородное уравнение:

 \frac{\partial^2 u_h}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u_h}{\partial x^2}, 

с начальными условиями:

 u_h(x,0) = 0, \quad \frac{\partial u_h(x,0)}{\partial t} = 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x, 

и краевыми условиями:

 u_h(0,t) = 0, \quad u_h(\pi,t) = 0. 

Метод разделения переменных

Пусть u_h(x,t) = X(x)T(t). Подставим в уравнение:

 X(x) T''(t) = a^2 X''(x) T(t). 

Разделим переменные:

 \frac{T''(t)}{a^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. 

Получаем два ОДУ:

1. Для X(x): X'' + \lambda X = 0, \quad X(0) = 0, \quad X(\pi) = 0.

   Решение: X_n(x) = \sin(n x), \quad \lambda_n = n^2, \quad n \in \mathbb{N}.

2. Для T(t): T_n'' + a^2 n^2 T_n = 0 \Rightarrow T_n(t) = A_n \cos(a n t) + B_n \sin(a n t).

Общее решение однородного уравнения:

 u_h(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(a n t) + B_n \sin(a n t) \right] \sin(n x). 

Применим начальные условия:

• u_h(x,0) = 0 \Rightarrow \sum A_n \sin(n x) = 0 \Rightarrow A_n = 0.

• \frac{\partial u_h}{\partial t}(x,0) = \sum B_n a n \sin(n x) = 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x.

Разложим правую часть в ряд Фурье по системе \sin(n x) на [0, \pi]. Для этого используем ортогональность:

 B_n = \frac{2}{a n \pi} \int_0^{\pi} 4 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin x \sin(n x) dx. 

(Это интеграл можно вычислить аналитически или численно — оставим пока в общем виде.)

2. Частное решение

Найдем частное решение u_p(x,t) для неоднородного уравнения:

 \frac{\partial^2 u_p}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u_p}{\partial x^2} + Ae^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Предположим решение в виде:

 u_p(x,t) = f(t) \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Подставим в уравнение:

 f''(t) \cos\left(\frac{x}{2}\right) = -a^2 f(t) \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + Ae^{-t} \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Сократим на \cos\left(\frac{x}{2}\right):

 f''(t) + \frac{a^2}{16} f(t) = Ae^{-t}. 

Это линейное ОДУ второго порядка с правой частью. Решим его:

Общее решение:

1. Однородное решение: f_h(t) = C_1 \cos\left(\frac{a t}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{a t}{4}\right).

2. Частное решение методом вариации постоянных или подстановкой: Попробуем f_p(t) = Be^{-t}:

   f_p'' + \frac{a^2}{16} f_p = B e^{-t} (1 - \frac{a^2}{16}) = Ae^{-t} \Rightarrow B = \frac{A}{1 - \frac{a^2}{16}}.

   (при a^2 \ne 16)

Частное решение:

 u_p(x,t) = \left[ C_1 \cos\left(\frac{a t}{4}\right) + C_2 \sin\left(\frac{a t}{4}\right) + \frac{A e^{-t}}{1 - \frac{a^2}{16}} \right] \cos\left(\frac{x}{2}\right). 

Итоговое решение задачи:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(a n t) \sin(n x) + u_p(x,t). 

где коэффициенты B_n определяются из начального условия на производную, а u_p(x,t) — частное решение, найденное выше.

Если необходимо, можно вычислить конкретные коэффициенты B_n и подставить значения A и a для получения окончательного ответа.