Уравнение движение полуограниченной струны

Пример 1:

Поставить задачу о движении полуограниченной струны  при  по ней бежит волна , а конец струны  закреплен жёстко.

Решение от преподавателя:

Пусть в положении равновесия струна направлена по оси x.

Обозначим через  смещение точек x струны в момент времени t от положения равновесия. При каждом фиксированном значении t график функции  дает форму струны в этот момент времени.

Пусть  – линейная плотность струны.

Так как конца нашей струны закреплены, то задача сводится к нахождению решения уравнения вида

где внешняя сила, действующая на струну параллельно оси u и рассчитанную на единицу длины.

Оно должно удовлетворять  начальным условиям

 и граничным условиям

Таким образом выводим выводим ответ:

где P — периметр поперечного сечения кольца, ,  — угловая координата.