Теорема подобия для преобразования Лапласа

Предмет: Математика

Раздел предмета: Теория преобразования Лапласа

Задание: Теорема подобия для преобразования Лапласа

Решение: Теорема подобия (или масштабирования) для преобразования Лапласа связана с преобразованием функции, получаемой после масштабирования аргумента во временной области.

Формулировка теоремы: Если \( f(t) \) имеет преобразование Лапласа \( F(s) \), то функция \( f(at) \) для любого ненулевого постоянного множителя \( a \) имеет преобразование Лапласа \(\frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)\).

Доказательство и разбор:

1. Определение преобразования Лапласа: Преобразование Лапласа функции \( f(t) \) определяется как \[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)e^{-st}\, dt, \] где \( s \) - это комплексное число.
2. Преобразование функции \( f(at) \): Допустим, мы хотим найти преобразование Лапласа функции \( f(at) \), где \( a \) - некоторый постоянный множитель. \[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \int_0^\infty f(at)e^{-st}\, dt. \]
3. Замена переменной: Чтобы упростить этот интеграл, сделаем замену переменной \( u = at \). Тогда \( du = a\, dt \), или \( dt = \frac{du}{a} \). Подстановка в интеграл дает: \[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \int_0^\infty f(u)e^{-s\frac{u}{a}} \frac{du}{a}. \]
4. Упрощение экспоненты: Обозначим \( \frac{s}{a} \) как \( v \), тогда интеграл преобразуется следующим образом: \[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a} \int_0^\infty f(u)e^{-vu}\, du. \]
5. Форма преобразования Лапласа: По определению преобразования Лапласа интеграл \(\int_0^\infty f(u)e^{-vu}\, du\) равен \( F(v) \), где \( v = \frac{s}{a} \). Таким образом, \[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right). \]

Следовательно, мы получили следующую конечную формулу теоремы подобия для преобразования Лапласа: \[ \mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right), \] где \( F(s) \) - преобразование Лапласа функции \( f(t) \).

Пример: Пусть \( f(t) = e^{-t} \) и \( F(s) = \mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1} \). Найдём преобразование для \( f(at) = e^{-at} \):

Используя теорему подобия: \[ \mathcal{L}\{e^{-at}\} = \frac{1}{|a|} \cdot \frac{1}{\frac{s}{a} + 1} = \frac{1}{|a|} \cdot \frac{a}{s + a} = \frac{1}{s + a}. \]

Вывод: Теорема подобия для преобразования Лапласа подтверждена и применена на конкретном примере.