Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа длязадачи Дирихле.

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ / Дифференциальные уравнения / Спектральная теория операторов

Задача: Найти собственные функции и собственные значения оператора Лапласа для задачи Дирихле.

Пояснение:

Рассматривается задача нахождения собственных функций и собственных значений для оператора Лапласа:

 \Delta u + \lambda u = 0 \quad \text{в области } \Omega, 

с граничным условием Дирихле:

 u|_{\partial \Omega} = 0. 

Здесь:

• \Delta — оператор Лапласа,
• u = u(x) — искомая функция,
• \lambda — собственное значение,
• \Omega — ограниченная область в \mathbb{R}^n,
• \partial \Omega — граница области.

Пример: Прямоугольная область

Рассмотрим конкретный случай: двумерную прямоугольную область \Omega = (0, a) \times (0, b).

Уравнение Лапласа:

 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \lambda u = 0, 

с граничными условиями Дирихле:

 u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0. 

Метод разделения переменных

Предположим решение в виде:

 u(x, y) = X(x)Y(y). 

Подставим в уравнение:

 X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) + \lambda X(x)Y(y) = 0. 

Разделим на X(x)Y(y):

 \frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} + \lambda = 0. 

Так как левая часть — сумма функций от разных переменных, каждая из них должна быть равна константе. Пусть:

 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda_x, \quad \frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda_y, \quad \text{где } \lambda = \lambda_x + \lambda_y. 

Тогда получаем два уравнения:

 X''(x) + \lambda_x X(x) = 0, \quad X(0) = X(a) = 0, 

 Y''(y) + \lambda_y Y(y) = 0, \quad Y(0) = Y(b) = 0. 

Собственные значения и функции

Решения этих задач — стандартные синусоиды:

• Для X(x):

 \lambda_x = \left( \frac{n\pi}{a} \right)^2, \quad X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right), \quad n = 1, 2, 3, \ldots 

• Для Y(y):

 \lambda_y = \left( \frac{m\pi}{b} \right)^2, \quad Y_m(y) = \sin\left( \frac{m\pi y}{b} \right), \quad m = 1, 2, 3, \ldots 

Таким образом, собственные значения:

 \lambda_{mn} = \left( \frac{n\pi}{a} \right)^2 + \left( \frac{m\pi}{b} \right)^2, 

А собственные функции:

 u_{mn}(x, y) = \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right) \sin\left( \frac{m\pi y}{b} \right). 

Вывод:

Собственные функции оператора Лапласа в прямоугольной области при условиях Дирихле — это произведения синусов, а собственные значения — суммы квадратов кратных \pi чисел, зависящих от размеров области.