Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнение теплопроводности, начально-краевая задача)

Рассмотрим задачу 4 из изображения. Неоднородное уравнение теплопроводности имеет вид:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t), \quad 0 < x < \pi,\ t > 0, 

с начальными и граничными условиями:

 u_x|_{x=0} = u_x|_{x=\pi} = 0, \quad u(x,0) = g(x), 

где:

 f(x,t) = 2 \cos 3x \sin t, \quad g(x) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x. 

Шаг 1: Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля

При краевых условиях Неймана:

 u_x|_{x=0} = u_x|_{x=\pi} = 0, 

собственные функции:

 X_n(x) = \cos(nx), \quad n = 0,1,2,\dots 

и собственные значения:

 \lambda_n = n^2 

Шаг 2: Разложение правой части и начального условия по собственным функциям

Разложим f(x,t) и g(x) по косинусам:

f(x,t):

 f(x,t) = 2 \cos 3x \sin t = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(t) \cos(nx) 

Здесь только один член:

 f_3(t) = 2 \sin t, \quad f_n(t) = 0 \text{ при } n \ne 3 

g(x):

 g(x) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos(nx) 

Значит:

 A_0 = 3, \quad A_1 = 1, \quad A_2 = -5, \quad A_n = 0 \text{ при } n \geq 3 

Шаг 3: Общее решение

Решение ищем в виде:

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t) \cos(nx) 

Подставим в уравнение:

 \sum_{n=0}^{\infty} T_n'(t) \cos(nx) = -a^2 \sum_{n=0}^{\infty} n^2 T_n(t) \cos(nx) + \sum_{n=0}^{\infty} f_n(t) \cos(nx) 

Сравнивая коэффициенты при \cos(nx), получаем:

 T_n'(t) + a^2 n^2 T_n(t) = f_n(t), \quad T_n(0) = A_n 

Шаг 4: Решение для каждого n

n = 0:

 T_0'(t) = 0, \quad T_0(0) = A_0 = 3 \Rightarrow T_0(t) = 3 

n = 1:

 T_1'(t) + a^2 T_1(t) = 0, \quad T_1(0) = 1 

Это ОДУ первого порядка:

 T_1(t) = e^{-a^2 t} 

n = 2:

 T_2'(t) + 4a^2 T_2(t) = 0, \quad T_2(0) = -5 

 T_2(t) = -5 e^{-4a^2 t} 

n = 3:

 T_3'(t) + 9a^2 T_3(t) = 2 \sin t, \quad T_3(0) = 0 

Решим методом вариации постоянных. Это линейное ОДУ:

Общее решение однородного:

 T_{3, \text{hom}}(t) = C e^{-9a^2 t} 

Частное решение ищем методом вариации постоянной:

Подставим в уравнение:

 T_3(t) = C(t) e^{-9a^2 t} 

Тогда:

 T_3'(t) = C'(t) e^{-9a^2 t} - 9a^2 C(t) e^{-9a^2 t} 

Подставим в уравнение:

 C'(t) e^{-9a^2 t} = 2 \sin t \Rightarrow C'(t) = 2 e^{9a^2 t} \sin t 

Интегрируем:

 C(t) = 2 \int e^{9a^2 t} \sin t \, dt 

Вычислим интеграл по частям:

Это стандартный интеграл:

 \int e^{\alpha t} \sin \beta t \, dt = \frac{e^{\alpha t} (\alpha \sin \beta t - \beta \cos \beta t)}{\alpha^2 + \beta^2} 

Здесь \alpha = 9a^2, \beta = 1, получаем:

 T_3(t) = e^{-9a^2 t} \cdot 2 \cdot \frac{e^{9a^2 t} (9a^2 \sin t - \cos t)}{(9a^2)^2 + 1} = \frac{2(9a^2 \sin t - \cos t)}{81a^4 + 1} 

Шаг 5: Общее решение

Теперь подставим всё в сумму:

 u(x,t) = T_0(t) \cos 0x + T_1(t) \cos x + T_2(t) \cos 2x + T_3(t) \cos 3x 

Подставим все найденные T_n(t):

 u(x,t) = 3 + e^{-a^2 t} \cos x - 5 e^{-4a^2 t} \cos 2x + \frac{2(9a^2 \sin t - \cos t)}{81a^4 + 1} \cos 3x 

Ответ:

 \boxed{ u(x,t) = 3 + e^{-a^2 t} \cos x - 5 e^{-4a^2 t} \cos 2x + \frac{2(9a^2 \sin t - \cos t)}{81a^4 + 1} \cos 3x } 

Если остались вопросы по какому-то шагу — обязательно напиши!