Смешанная задача для волнового уравнения. Метод Фурье для волнового уравнения.

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, уравнения математической физики — волновое уравнение
Метод: Метод Фурье (разложение по собственным функциям)

Рассмотрим смешанную задачу для одномерного волнового уравнения. Это задача, в которой заданы начальные и граничные условия.

Постановка задачи

Рассмотрим волновое уравнение:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 

с начальными условиями:

 u(x, 0) = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x) 

и граничными условиями (например, Дирихле):

 u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0 

Здесь:

• u(x, t) — искомая функция (например, отклонение струны),
• c — скорость распространения волны,
• f(x) и g(x) — начальное положение и начальная скорость.

Метод Фурье

Метод Фурье предполагает разложение решения по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля, возникающей из граничных условий.

Шаг 1: Разложение по собственным функциям

Рассмотрим разложение решения в виде:

 u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(\omega_n t) + B_n \sin(\omega_n t) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) 

где:

• \omega_n = \frac{n\pi c}{L} — собственные частоты,
• A_n, B_n — коэффициенты, определяемые начальными условиями.

Шаг 2: Подстановка начальных условий

Подставим t = 0 в разложение:

 u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) = f(x) 

 \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} \omega_n B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) = g(x) 

Это разложения функций f(x) и g(x) в ряд Фурье по системе \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right).

Шаг 3: Вычисление коэффициентов

Коэффициенты находятся по формулам:

 A_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) dx 

 B_n = \frac{2}{\omega_n L} \int_0^L g(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) dx 

Итоговое решение

Решение задачи принимает вид:

 u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left( \frac{2}{L} \int_0^L f(x') \sin\left(\frac{n\pi x'}{L} \right) dx' \right) \cos\left( \frac{n\pi c t}{L} \right) + \left( \frac{2}{\frac{n\pi c}{L} \cdot L} \int_0^L g(x') \sin\left(\frac{n\pi x'}{L} \right) dx' \right) \sin\left( \frac{n\pi c t}{L} \right) \right] \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) 

Если у тебя есть конкретные функции f(x) и g(x), я могу подставить их и найти явное решение. Напиши их — и мы продолжим.