Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Предмет: Математика (Математическая физика)
Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (Уравнение теплопроводности), Методы решения уравнений математической физики (Метод Фурье)

Постановка задачи

Смешанная задача для уравнения теплопроводности — это задача, в которой необходимо найти функцию температуры, удовлетворяющую:

1. Уравнению теплопроводности (дифференциальное уравнение в частных производных),
2. Начальному условию (температура в начальный момент времени),
3. Граничным условиям (температура или поток тепла на границах области).

Рассмотрим классическую задачу для уравнения теплопроводности в одномерном стержне длиной L:

Уравнение теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < L, \, t > 0 

где:

• u(x, t) — температура в точке x в момент времени t,
• a^2 — коэффициент теплопроводности.

Начальное условие:

 u(x, 0) = f(x), \quad 0 \le x \le L 

Граничные условия (например, условия Дирихле):

 u(0, t) = 0, \quad u(L, t) = 0, \quad t > 0 

Метод Фурье (Разделение переменных)

Предположим, что решение представимо в виде произведения функций одной переменной:

 u(x, t) = X(x)T(t) 

Подставим в уравнение теплопроводности:

 X(x) \frac{dT}{dt} = a^2 T(t) \frac{d^2X}{dx^2} 

Разделим обе части на a^2 X(x) T(t):

 \frac{1}{a^2 T(t)} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} = -\lambda 

Обе части равны одной и той же постоянной -\lambda (отрицательной, чтобы обеспечить затухание).

Решение уравнений:

1. Для X(x):

 \frac{d^2X}{dx^2} + \lambda X = 0, \quad X(0) = 0, \, X(L) = 0 

Это задача на собственные значения. Решение:

 X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right), \quad \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots 

2. Для T(t):

 \frac{dT}{dt} + a^2 \lambda_n T = 0 

Решение:

 T_n(t) = C_n e^{-a^2 \lambda_n t} = C_n e^{-a^2 \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t} 

Общее решение

 u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) e^{-a^2 \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t} 

Коэффициенты C_n находятся из начального условия:

 u(x, 0) = f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) 

Это разложение функции f(x) в ряд Фурье по синусам. Тогда:

 C_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx 

Вывод

Метод Фурье позволяет свести смешанную задачу для уравнения теплопроводности к задаче на собственные значения и разложению начального условия в ряд Фурье. Это классический и мощный метод в математической физике.