Решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности с заданными граничными и начальными условиями

Этот пример относится к курсу дифференциальных уравнений с частными производными (раздел математики). Конкретно, вам предстоит решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности с заданными граничными и начальными условиями.

Задача

У нас есть дифференциальное уравнение теплопроводности:

\[ u_t = 4u_{xx}, \quad 0 < x < 2, \, t > 0, \]

с начальными и граничными условиями:

\[ u(x, 0) = 28 \sin(2\pi x) + 5 \sin(3\pi x), \]

\[ u(0, t) = 0, \, u(2, t) = 0. \]

Подход к решению будет основываться на методе разделения переменных.

Шаг 1: Разделение переменных

Ищем решение в виде произведения двух функций:

\[ u(x, t) = X(x) T(t), \]

где \(X(x)\) зависит только от \(x\), а \(T(t)\) зависит только от \(t\).

Подставим это выражение в исходное уравнение:

\[ X(x) T'(t) = 4 X''(x) T(t). \]

Разделим обе части на \(X(x) T(t)\):

\[ \frac{T'(t)}{T(t)} = 4 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda, \]

где \(\lambda\) — разделяющая константа (параметр разделения переменных).

Теперь у нас два отдельных уравнения:

1. Для функции \(X(x)\):

\[ X''(x) + \frac{\lambda}{4} X(x) = 0, \]

2. Для функции \(T(t)\):

\[ T'(t) + \lambda T(t) = 0. \]

Шаг 2: Решение уравнения для \(X(x)\)

Учитывая граничные условия \(u(0, t) = 0\) и \(u(2, t) = 0\), мы решаем уравнение для \(X(x)\):

\[ X''(x) + \frac{\lambda}{4} X(x) = 0. \]

Это обычное дифференциальное уравнение второго порядка с характеристическим уравнением:

\[ r^2 + \frac{\lambda}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \pm i \frac{\sqrt{\lambda}}{2}. \]

Общее решение выглядит так:

\[ X(x) = A \cos \left( \frac{\sqrt{\lambda}}{2} x \right) + B \sin \left( \frac{\sqrt{\lambda}}{2} x \right). \]

Применим граничные условия для функции \(X(x)\):

1. \(X(0) = 0 \Rightarrow A = 0\), т. е. \(X(x) = B \sin \left( \frac{\sqrt{\lambda}}{2} x \right)\).
2. \(X(2) = 0 \Rightarrow B \sin \left( \frac{\sqrt{\lambda}}{2} \cdot 2 \right) = 0\). Для \(B \neq 0\), \(\sin(\sqrt{\lambda} \cdot 1) = 0\), что означает, что \(\sqrt{\lambda} = n\pi\), где \(n\) — целое положительное число.

Следовательно, \(\lambda = n^2 \pi^2\), и решение для \(X(x)\) имеет вид:

\[ X_n(x) = B_n \sin(n\pi x). \]

Шаг 3: Решение уравнения для \(T(t)\)

Теперь решаем уравнение для \(T(t)\):

\[ T'(t) + \lambda T(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad T(t) = C e^{- \lambda t}. \]

Подставляем \(\lambda = n^2 \pi^2\), получаем:

\[ T_n(t) = C_n e^{-n^2 \pi^2 t}. \]

Шаг 4: Общее решение

Общее решение задачи в виде суммы по \(n\) имеет вид:

\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x). \]

Шаг 5: Определение коэффициентов по начальному условию

Теперь используем начальное условие \(u(x, 0) = 28 \sin(2\pi x) + 5 \sin(3\pi x)\). Мы знаем, что при \(t = 0\):

\[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(n\pi x) = 28 \sin(2\pi x) + 5 \sin(3\pi x). \]

Отсюда сразу видно, что:

\[ B_2 = 28, \quad B_3 = 5, \quad \text{и все остальные} \, B_n = 0 \, \text{при}\, n \neq 2, 3. \]

Шаг 6: Окончательное решение

Подставляем значения коэффициентов в наше общее решение:

Ответ: Решение задачи:

\[ u(x, t) = 28 e^{-4\pi^2 t} \sin(2\pi x) + 5 e^{-9\pi^2 t} \sin(3\pi x). \]