Решить задачу Коши

Предмет: Дифференциальные уравнения (математика).

Раздел предмета: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание:

\[ \begin{cases} 2xy = y^2 - 1 \\ y(3) = -2 \end{cases} \]

Здесь у нас первое уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Начнем с приведения уравнения к такому виду, чтобы было можно работать с разделением переменных.

Шаг 1: Перепишем уравнение

\[ 2xy = y^2 - 1 \]

Перепишем уравнение так, чтобы все \( y \) были с одной стороны и все \( x \) с другой стороны:

\[ 2xy - y^2 = -1 \]

Шаг 2: Сделаем замену переменных

Обратите внимание, что уравнение можно привести к стандартному виду уравнения с разделяющимися переменными. Однако, в текущем виде это не очевидно. Поэтому давайте попробуем сделать замену переменных. Допустим, \( y = v(x) \cdot x \).

Тогда:

\[ y = vx \]

\[ y' = v + x \frac{dv}{dx} \]

Подставим это в исходное уравнение.

Шаг 3: Используем новую переменную

Подставляя \( y = vx \), получаем:

\[ 2x(vx) = (vx)^2 - 1 \]

\[ 2x^2v = v^2x^2 - 1 \]

\[ 2v = v^2 - \frac{1}{x^2} \]

Если \( v = 1/x \):

\[ 2 \frac{1}{x} = (\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x^2} \]

Мы видим, что это не приведет к удобному виду. Попробуем другой метод.

Шаг 4: Метод разделения переменных

Делим обе части уравнения на \( y \) чтобы выделить производную y:

\[ 2x = y - \frac{1}{y} \]

Перепишем для \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2xy} \]

Теперь сделаем интегрирование через разделение переменных.

Шаг 5: Разделяем переменные

Попробуем выразить \( x \):

\[ \frac{2x}{y^2 - 1} dx = dy \]

Шаг 6: Интегрируем обе стороны

Интегрируем левую и правую части уравнения:

\[ \int \frac{2x}{y^2 - 1} \, dx = \int \, dy \]

Шаг 7: Решаем интегралы

Интеграл по левую часть уравнения приведет нас к \( x^2 \) после применения метода подстановки. После интегрирования обеих сторон, который завершиться следующим шагом:

\[ x^2 + C = \ln{|y^2 - 1|} \]

Шаг 8: Используем начальное условие

Итак, у нас получилось общее решение, теперь применим начальные условия \( y(3) = -2 \):

\[ X^2 + C = \ln{|4 - 1|} = \ln{3} \]

Итак, подставляем \( (3, -2) \):

\[ 3^2 + C = \ln{3} \]

Шаг 9: Найдем постоянную C

\[ 9 + C = \ln{3}\]

C = ln (3) - 9

Шаг 10: Формула решения

Итак:

\[ x^2 + C = \ln(|y^2-1|)\]

\[ х^2 + ln (3) - 9 = \ln(|y^2-1|)\]

Таким образом, мы решили задачу Коши.