Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить задачу Коши {2xy=y2-1 {y(3)=-2
\[ \begin{cases} 2xy = y^2 - 1 \\ y(3) = -2 \end{cases} \]
Здесь у нас первое уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Начнем с приведения уравнения к такому виду, чтобы было можно работать с разделением переменных.
\[ 2xy = y^2 - 1 \]
Перепишем уравнение так, чтобы все \( y \) были с одной стороны и все \( x \) с другой стороны:
\[ 2xy - y^2 = -1 \]
Обратите внимание, что уравнение можно привести к стандартному виду уравнения с разделяющимися переменными. Однако, в текущем виде это не очевидно. Поэтому давайте попробуем сделать замену переменных. Допустим, \( y = v(x) \cdot x \).
Тогда:
\[ y = vx \]
\[ y' = v + x \frac{dv}{dx} \]
Подставим это в исходное уравнение.
Подставляя \( y = vx \), получаем:
\[ 2x(vx) = (vx)^2 - 1 \]
\[ 2x^2v = v^2x^2 - 1 \]
\[ 2v = v^2 - \frac{1}{x^2} \]
Если \( v = 1/x \):
\[ 2 \frac{1}{x} = (\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x^2} \]
Мы видим, что это не приведет к удобному виду. Попробуем другой метод.
Делим обе части уравнения на \( y \) чтобы выделить производную y:
\[ 2x = y - \frac{1}{y} \]
Перепишем для \( \frac{dy}{dx} \):
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2xy} \]
Теперь сделаем интегрирование через разделение переменных.
Попробуем выразить \( x \):
\[ \frac{2x}{y^2 - 1} dx = dy \]
Интегрируем левую и правую части уравнения:
\[ \int \frac{2x}{y^2 - 1} \, dx = \int \, dy \]
Интеграл по левую часть уравнения приведет нас к \( x^2 \) после применения метода подстановки. После интегрирования обеих сторон, который завершиться следующим шагом:
\[ x^2 + C = \ln{|y^2 - 1|} \]
Итак, у нас получилось общее решение, теперь применим начальные условия \( y(3) = -2 \):
\[ X^2 + C = \ln{|4 - 1|} = \ln{3} \]
Итак, подставляем \( (3, -2) \):
\[ 3^2 + C = \ln{3} \]
\[ 9 + C = \ln{3}\]
C = ln (3) - 9
Итак:
\[ x^2 + C = \ln(|y^2-1|)\]
\[ х^2 + ln (3) - 9 = \ln(|y^2-1|)\]
Таким образом, мы решили задачу Коши.