Решить задачу Коши

Предмет: Дифференциальные уравнения (математика).

Раздел предмета: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание:

$\text{[}\{\begin{array}{l}2xy=y^2-1\\ y(3)=-2\end{array}\text{]}$

Здесь у нас первое уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Начнем с приведения уравнения к такому виду, чтобы было можно работать с разделением переменных.

Шаг 1: Перепишем уравнение

$\text{[}2xy=y^2-1\text{]}$

Перепишем уравнение так, чтобы все $\text{(}y\text{)}$ были с одной стороны и все $\text{(}x\text{)}$ с другой стороны:

$\text{[}2xy-y^2=-1\text{]}$

Шаг 2: Сделаем замену переменных

Обратите внимание, что уравнение можно привести к стандартному виду уравнения с разделяющимися переменными. Однако, в текущем виде это не очевидно. Поэтому давайте попробуем сделать замену переменных. Допустим, $\text{(}y=v(x)\cdot x\text{)}$.

Тогда:

$\text{[}y=vx\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }=v+x\frac{dv}{dx}\text{]}$

Подставим это в исходное уравнение.

Шаг 3: Используем новую переменную

Подставляя $\text{(}y=vx\text{)}$, получаем:

$\text{[}2x(vx)=(vx{)}^2-1\text{]}$

$\text{[}2x^{2}v=v^2{x}^2-1\text{]}$

$\text{[}2v=v^2-\frac{1}{x^2}\text{]}$

Если $\text{(}v=1/x\text{)}$:

$\text{[}2\frac{1}{x}=(\frac{1}{x}{)}^2-\frac{1}{x^2}\text{]}$

Мы видим, что это не приведет к удобному виду. Попробуем другой метод.

Шаг 4: Метод разделения переменных

Делим обе части уравнения на $\text{(}y\text{)}$ чтобы выделить производную y:

$\text{[}2x=y-\frac{1}{y}\text{]}$

Перепишем для $\text{(}\frac{dy}{dx}\text{)}$:

$\text{[}\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{2xy}\text{]}$

Теперь сделаем интегрирование через разделение переменных.

Шаг 5: Разделяем переменные

Попробуем выразить $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{2x}{y^2-1}dx=dy\text{]}$

Шаг 6: Интегрируем обе стороны

Интегрируем левую и правую части уравнения:

$\text{[}\int \frac{2x}{y^2-1}dx=\int dy\text{]}$

Шаг 7: Решаем интегралы

Интеграл по левую часть уравнения приведет нас к $\text{(}{x}^2\text{)}$ после применения метода подстановки. После интегрирования обеих сторон, который завершиться следующим шагом:

$\text{[}{x}^2+C=\ln |y^2-1|\text{]}$

Шаг 8: Используем начальное условие

Итак, у нас получилось общее решение, теперь применим начальные условия $\text{(}y(3)=-2\text{)}$:

$\text{[}{X}^2+C=\ln |4-1|=\ln 3\text{]}$

Итак, подставляем $\text{(}(3,-2)\text{)}$:

$\text{[}{3}^2+C=\ln 3\text{]}$

Шаг 9: Найдем постоянную C

$\text{[}9+C=\ln 3\text{]}$

C = ln (3) - 9

Шаг 10: Формула решения

Итак:

$\text{[}{x}^2+C=\ln (|y^2-1|)\text{]}$

$\text{[}{х}^2+ln(3)-9=\ln (|y^2-1|)\text{]}$

Таким образом, мы решили задачу Коши.