Решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнение теплопроводности, задача с функцией Грина)

? Задача 3.1.2, пункт 3:
Решить начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t), \quad D = \{x : 0 < x < l\}, \quad 0 < t, 

с граничными условиями:

 u_x|_{x=0} = u_x|_{x=\pi/2} = 0, 

и начальными условиями:

 u|_{t=0} = g(x), \quad 0 < x < \pi/2, 

где:

 f(x,t) = \cos 5x \sin t, \quad g(x) = 2 \cos x + 3 \cos 3x. 

? Шаг 1: Метод решения

Это задача Коши с неоднородным уравнением теплопроводности и неоднородной правой частью. Решение ищем с помощью разложения в ряд Фурье по косинусам, так как граничные условия — неподвижные (Неймана):

 u_x(0, t) = u_x(\pi/2, t) = 0. 

Это указывает на разложение по косинусам, поскольку производные косинусов на границах равны нулю.

? Шаг 2: Базис Фурье

Рассматриваем базис по косинусам на отрезке [0, \pi/2]:

 \phi_n(x) = \cos(2n x), \quad n = 0, 1, 2, \dots 

(Из-за длины отрезка l = \pi/2, ортонормальные функции будут \cos(2n x))

? Шаг 3: Разложение начального условия g(x)

Нам нужно разложить:

 g(x) = 2 \cos x + 3 \cos 3x 

в ряд по базису \cos(2n x).

Но:

• \cos x = \cos(2 \cdot \tfrac{1}{2} x) — не входит в базис.
• Однако можно выразить \cos x и \cos 3x через базис \cos(2n x) на [0, \pi/2].

Но проще: расширим базис до полного по косинусам:

 \phi_n(x) = \cos\left(\frac{2n \pi x}{l}\right) = \cos(4n x), \quad l = \pi/2. 

Тогда:

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n(t) \cos(4n x) 

? Шаг 4: Разложение правой части f(x,t) = \cos 5x \sin t

Разложим \cos 5x в ряд по \cos(4n x). Но \cos 5x не совпадает с базисными функциями, потому коэффициенты будут вычисляться по формуле:

 f_n(t) = \frac{2}{l} \int_0^l f(x,t) \cos(4n x) dx = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos 5x \cos(4n x) dx \cdot \sin t 

Это стандартное скалярное произведение косинусов, и оно будет ненулевым только при совпадении индексов.

? Шаг 5: Общая формула решения

Решение неоднородного уравнения с начальными условиями и правой частью:

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ g_n \cos(\lambda_n x) \cos(a^2 \lambda_n^2 t) + \int_0^t f_n(\tau) \frac{\sin(a^2 \lambda_n^2 (t - \tau))}{a^2 \lambda_n^2} d\tau \cdot \cos(\lambda_n x) \right], 

где:

• \lambda_n = \frac{2n\pi}{l} = 4n,
• g_n — коэффициенты разложения g(x),
• f_n(t) — коэффициенты разложения f(x,t).

? Шаг 6: Вычисление коэффициентов

Для g(x) = 2 \cos x + 3 \cos 3x:

Разложим в базис:

Пусть g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n \cos(4n x)

Тогда:

 g_n = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} g(x) \cos(4n x) dx 

Аналогично для f(x,t).

✅ Ответ (структурно):

Решение имеет вид:

 u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ g_n \cos(4n x) \cos(a^2 (4n)^2 t) + \int_0^t f_n(\tau) \frac{\sin(a^2 (4n)^2 (t - \tau))}{a^2 (4n)^2} d\tau \cdot \cos(4n x) \right], 

где:

• g_n = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} g(x) \cos(4n x) dx,
• f_n(t) = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos(5x) \cos(4n x) dx \cdot \sin t.

Если нужно, могу вычислить конкретные коэффициенты g_n и f_n(t) для первых n=0,1,2.

Хочешь продолжить в этом направлении?