Решить краевые задачи

Данная задача относится к разделу математического анализа, а именно к краевым задачам для уравнений в частных производных.

Это задача для уравнения Лапласа, которая ставится в прямоугольной области \(0 < x < a, \, 0 < y < b \) c заданными граничными условиями. Уравнение Лапласа: \[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Граничные условия: \[\begin{cases} u|_{x=0} = u_0, \\ u|_{x=a} = 0, \\ u|_{y=0} = 0, \\ u|_{y=b} = 0. \end{cases}\]

Решение будем искать методом разделения переменных, предполагая, что \(u(x, y) = X(x)Y(y)\). Тогда \(u(x, y)\) может быть представлено в виде: \[\frac{\partial^2 (X(x)Y(y))}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 (X(x)Y(y))}{\partial y^2} = 0\]

Или, после разделения: \[Y(y)\frac{d^2 X(x)}{dx^2} + X(x)\frac{d^2 Y(y)}{dy^2} = 0\]

Разделим уравнение на \(X(x)Y(y)\): \[\frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} = 0\] Это равенство должно выполняться для всех \(x\) и \(y\), поэтому каждая из частей должна быть равна постоянной. Пусть: \[\frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = -\lambda\] \[\frac{1}{Y(y)} \frac{d^2 Y(y)}{dy^2} = \lambda\]

Тогда мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: \[\frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \lambda X(x) = 0\] \[\frac{d^2 Y(y)}{dy^2} - \lambda Y(y) = 0\]

Начнем с уравнения для \(X(x)\): \[\frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \lambda X(x) = 0\]

Граничные условия: \[X(0) = u_0, \quad X(a) = 0\]

Решение этого уравнения зависит от значения \(\lambda \): Пусть \(\lambda = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2\)

Тогда общее решение имеет вид: \[X(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\]

Граничные условия дают: \[X(0) = A \sin(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad A = u_0\] \[X(a) = u_0 \sin(n\pi) = 0 \quad \Rightarrow \quad u_0 \neq 0 \Rightarrow n \in \mathbb{Z}, n \geq 1\]

Теперь перейдем к уравнению для \(Y(y)\): \[\frac{d^2 Y(y)}{dy^2} - \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y(y) = 0\]

Граничные условия: \[Y(0) = 0, \quad Y(b) = 0\]

Решение этого уравнения: \[Y(y) = B \sinh\left( \frac{n \pi y}{a} \right)\]

Граничные условия дают: \[Y(0) = B \sinh(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 1\] \[Y(b) = \sinh \left( \frac{n \pi b}{a} \right) \neq 0\]

Итак, общее решение может быть представлено в виде суммы подобных решений: \[u(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left( \frac{n \pi x}{a} \right) \sinh \left(\frac{n \pi y}{a}\right)\]

Чтобы определить константы \(C_n\), используем исходные условия \(u(x, 0) = 0\). Мы имеем: \[u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left( \frac{n \pi x}{a} \right) \sinh(0) = 0\] Следовательно \(C_n \) должны быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворять всем граничным условиям. В итоге: \[u(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left( \frac{n \pi x}{a} \right) \sinh \left(\frac{n \pi y}{a}\right)\] Константа \(C_n \) определяется из начального условия \(u(0, y) = u_0\) и подобных соотношений, которые требуют дополнительного вычисления посредством разложения в ряд Фурье.